统计推断
生物统计学研究包括试验设计和统计分析两大部分。
表现在以下4个方面：
1. 提供整理、描述数据资料的科学方法并确定其数量特征。（描述性统计）
2. 判断实验结果的可靠性。(统计推断)
3. 提供由样本推断总体的方法。(统计推断)
4. 提供试验设计的原则。(实验设计)
由于时间关系，先复习老师重点章节。(第一个ppt，第三页，标蓝的)
- 假设检验
- 方差分析
- 回归分析
这一篇先来讲 假设检验 ：
一图胜千言，请看统计推断内容包括什么？
不要觉得这张图不重要，瞥一眼就过去了
其实这是老师第一节课 PPT 的内容 (我填了一些内容)
当我们上完所有课后，重新回顾这张图时
我们应该对 (老师上课讲的) 生物统计学内容的脉络有一个基本的认识
也就是说，当我们看到以上的关键词，我们的脑海应该有一个大致的地图
知道应该往那个方向走
如果还十分模糊，那接下来我和大家一起重新捋一遍思路
如果感觉有点印象，那接下来就温故知新
我们先从假设检验开始，即图中红色框框那一部分内容
假设检验
先从字面开始，假设的是什么？检验的是什么？
假设
假设，就是『猜』。
比如说《女士品茶》中，如下假设：
- 那个女士能分辨出『先放茶，还是先放奶』
等价的说法是：
- 研究者猜那个女士能分辨出『先放茶，还是先放奶』
假设，是我们进行学术研究的第一步。我们看得每一篇文献，进行得每一个研究课题，都有一个假设。
一个好的假设应该有以下特征：
1. 陈述句
2. 提出变量间的预期关系 (如: 能分辨/不能分辨；促进/抑制)
3. 假设应基于已存在的理论或文献基础 (如: 有人已经研究过，先煮辣椒，再放豆腐；和先煮豆腐，再放辣椒，这两种烹饪方式做出的麻婆豆腐味道不一样) (我随便举个例子，我们研究中大多假设的基础，应该有文献)
4. 简短并切中要点 (不废话，有说服力)
5. 可检验 (意味着有可量化的方法判断这个假设是对还是不对)
检验
一个好的假设是可检验的。
什么是可检验？
可检验就有判断命题真伪的普遍性量化标准。
说到哲学层面就太绕了 (有兴趣的同学可以自己搜一下：逻辑实证主义)
“可检验” 我的理解是：
「不能你说了算」
而是有一个公认的可测量规则
比如说，在《女士品茶》里
- 如果说，『先放茶和先放奶喝起来感觉不一样』，这个假设是无法检验的，因为每个人的主观感觉都不一样。
- 但是如果说，『一个女士能分辨出是先加了茶还是先加了奶』，这个是可以检验的，因为现在的命题变成只有两种可能，『能分辨』和『不能分辨』。
- 这里检验默认的规则是：『事实』，加什么的顺序是可以事先人为决定的。根据这样的事实，我们可以判断这个女士是『能分辨』还是『不能分辨』。
我们再来说一个假设：『地球是圆球』
- 这里检验公认的规则：圆的定义。
- 要证明地球是圆球，你得证明从上看是圆，从下看是圆，从每个角度看都是圆
- 但是，如果要证明地球不是圆球，那简单，只要有一个角度看过去是方的就行
- 当想肯定某个命题很难时，可以考虑用反证法，因为否定相对容易得多
OK，接下来是把两个词结合一起：『假设检验』
无效假设(零假设) H0：我们要（间接）检验的假设
备择假设(研究假设) Ha：无效假设(零假设)的对立命题 (非此即彼)，我们想研究的假设。
发现没有？
有趣的是，我们想研究的其实是『备择假设(研究假设)』
但是我们检验的却是它对立的『无效假设(零假设)』
假设检验的基本思想：
- 反证法
- 小概率事件在统计学上认为不可能发生
反证法前面已经说过了，否认一个命题相对容易。
- 所以想证明一个命题，可以从否定它的对立命题入手。
- 我们可以先假设 H0 成立，如果基于这个出发，得到自相矛盾的结果，那说明原先我们假设的 H0 很有可能是错误的。
- 在没有其他信息的情况下，零假设就被看成可接受的真实状态。换句话说，直到你能证明存在差异，否则你只能假定没有差异。
另外不知道有朋友发现没有，在上面的零假设中，我用了『间接』二字。
零假设
零假设的对象是总体，
如果你翻翻老师的课件，
你会发现，H0总是这样的形式：
H0 : μ = μ0
μ 是什么？
我们回顾一下样本与总体。
总体：具有相同性质个体所组成的集合，即研究对象的全体
样本：从总体中抽出若干个个体所构成的集合
参数：描述总体特征的数量。如用 μ 表示总体平均数，σ表示总体标准差
统计数：描述样本特征的数量。如用 x̅ 表示样本平均数，S表示样本标准差
还有一个概念，我一开始搞混了，标准差和标准误
实际上，这其中有三个概念：(有没有看到熟悉的缩写)
总体标准差 σ
样本标准差 S (sample standard deviation, SSD)
样本平均数的标准差
样本平均数的标准误(差) (standard error of mean, SEM)
样本标准差是表示个体间变异大小的指标，反映了整个样本对样本平均数的离散程度，是数据精密度的衡量指标 ;
而样本平均数的标准误(差)，反映样本平均数对总体平均数的变异程度，从而反映抽样误差的大小，是量度结果精密度的指标
好的，我们再回到零假设
H0 : μ = μ0
总体我们一般无法获得，我们通常使用抽样获得一部分样本。
那我们是如何通过样本来间接验证总体的呢？
下面我们来说一说分布：
概率分布
首先，总体的数据会服从某种分布，而抽取的样本构成的总体，会服从某种抽样分布。
老师上课讲的主要是：
总体分布：『正态分布』
抽样分布：『t 分布』，『卡方分布』，『F 分布』
为什么主要讲『正态分布』？
1. 因为自然状态下，大多数数据都服从正态分布。从正态总体中抽取样本，样本均数也服从正态分布。
2. 即使总体不是正态分布，只要样本数 n 足够大，样本均数的分布也近似服从正态分布。(中心极限定理)
不知道大家留意到没有，上面用的字眼是，样本均数的分布，是样本平均数的分布。这意味着，样本的平均数，不是唯一的值(分布意味着是一系列的取值)。
为什么？ (理解这一点很重要，比如会把总体，样本，样本总体搞混)
因为每次抽样，抽样的样本是不一样的(随机，样本差异)。所以每次抽取出来的样本的平均数，肯定不会是一样的。这样的所有样本均值会构成一个新的总体，在这个总体里面，均值是 μ(x)，标准差是 σ(x)。（记住这些符合，后面会用到）
虽然算出来的均值可能会不一样，但是总有个合理的范围。如果出现某个偏离很远的值，我们会觉得很不合理。这个就是置信区间。
好的，思路到这里已经越来越清晰了。
正态分布
虽然老师说不用记这个图，但是我觉得还是有必要讲一下的。
1. x 轴是样本统计量。(如：样本的均值)
2. 概率不是 x 对应的 y 的值，而是曲线和两个 x 轴的垂线以及 x 轴围起来的面试，是概率。
3. N(μ,σ2)，μ(总体均值) 是中心位置，σ (总体标准差) 代表数据的离散程度。但更重要的是记住：离 均值μ 若干个 标准差σ 距离 代表的概率。(如 1个 σ : 68.2%; 1.96 个 σ : 95%; 2.58 个 σ : 99%)
4. 对应到样本均值，『样本均值』偏离『样本总体均值』若干个『样本均值标准误』也对应着相应的概率。(觉得懵的往下看)
标准正态分布
正态分布只需要两个参数 ( μ 和 σ ) 即可确定其曲线形状
当 μ = 0 ，σ = 1 时，称为标准正态分布，N(0,1)
然而，我们抽取的样本的均值构成的分布，μ(x) 不会都等于 0 ，σ (x) 也不会正好等于 1，因此我们需要一个标准化正态变换。
是不是有种熟悉的感觉，没错，这个就是 u 检验时，我们计算的 u 值。
(看清楚，μ 和 u ，我也不知道为什么用这么相近的两个字符)
(对符号含义理解还比较模糊的话往前看，这里的 μ(x) 是指所有抽取的样本的均值构成的新总体的总体均值， σ(x)是指对应的总体标准差)
我们先来想一个问题，怎么才能得到 0
- 没错，就是一个数减去它本身。
- 假设样本平均数总体均值是 μ(x)，如果整个分布对应的 x 值都减去 μ(x)，那么整个分布就会平移到以 x = 0 中心的位置。(仔细琢磨一下)
而除以 σ(x) ，就是希望『用同一把尺子量东西』
- 上面已经说过，某个样本平均数 x̅ 出现的概率，是可以通过 『 x̅ 距离 均值 μ 有多少个 标准差σ 』来换算。现在除以 σ(x) ，就只剩下数字了。(仔细琢磨一下)
- 也就是说，u 值就是偏离均值标准差的个数。
- 比如说，我 u 值算出来是 2，意思就是，该样本平均数 x̅ 偏离 样本总体均值 μ(x) 有两个样本标准差μ(x) 距离，如果是双尾检验的话，将会落在 概率为 5% 的区域。
下面，我们将式子变一下，再思考一下，这个概率意味着什么？
- 每个样本均值 x̅ 都可以理解为，样本平均数总体均值 μ(x) + 偏度值 ε 。
- 现在我们想要知道的是，这个 偏度值 ε 是由于 『随机误差』造成的，还是因为『某种处理』造成的偏离。
- 如果计算出来的 z 值，大于 1.96，也就是说，由于『随机误差』造成样本均值偏离样本所在总体均值的可能性只有 5 %，那么这个偏离的原因很大可能不是由于『随机误差』造成的，而是有别的因素在起作用，影响了结果。
好了，到这里应该对 u 值有清晰的理解了，我们再来看看，『样本总体』怎么对应到『原总体』上。
『样本均值总体』与『研究总体』
到了这一步，我们看看我们还缺什么？
很明显，x̅ 和 n 来自样本，我们还缺 μ 和 σ
首先看看我们的零假设，在一个样本平均数的 u 检验时 ：
H0 ：μ = μ0 = ？ ，我们是有应该理论研究总体均值μ0
也就是说 μ 可以获得，所以还缺 σ
所以 一个样本平均数的 u 检验 分为两种情况：
好的，这里理解的话，基于这个思路，两个样本均值u检验，均值t检验，(频数检验)，应该也比较好理解了。
先说结论：
无论是『一个样本的平均数检验』还是『两个样本的平均数检验』，无论总体方差(σ^2)是『已知』还是『未知』，只要样本容量 (n >= 30)，根据中心极限定理，可以使用『u 检验法』
-
对于小样本平均数的假设检验，当总体方差 (σ^2)『未知』且样本容量 (n <30)时，不论是『一个样本的平均数检验』还是『两个样本的平均数检验』，都适用『t 检验法』。
- 其中，『两个小样本的平均数检验』，t 检验，又分为：
- 『成组数据平均数』
- 『成对数据平均数比较』
(考试看这个图套公式就好了，重要的是理解每个符号的含义)
(还有就是看懂题目，知道是u检验还是t检验，知道是成组还是配对，知道是用单尾检验还是双尾检验)
(这个图有点小，放大后还是清晰的)
这张表逐一去看，理解后每个字符的含义后，直接套公式就好了。
最后说说，为什么 t 分布要查表，而 u 分布不用？
- 实际上，u 分布也有表，只不过我们不用去查，因为u 分布就是正态分布，只有一条曲线，而我们已经清楚地知道，u = 1.96 对应 95%，u = 2.58 对应 99%
- t 分布不止一条曲线，一个自由度df 下对应一条曲线，所以需要查表，去找出相应的概率值
- 从图中可以看成，当样本数越大时，df 越大，t 分布越接近正态分布
总结假设检验4部曲
- 提出彼此对立的两个假设：无效假设H0，与备择假设Ha
- 确定显著性水平 (α = 0.05)
- 计算统计数和相应的概率值 (基于某一理论分布，如正态分布，t 分布)
- 根据小概率原理进行推断 (算出来统计量>查表值，拒绝H0）（如 u = 2 > 1.96（查表得）)
关于显著性水平
- 单尾检验(α)比双尾检验灵敏度高(α/2)，若能凭借专业知识、实践经验和检验具体要求等进行判断，最好尽量使用单尾检验
- 一般设置 α = 0.05，意味着『承当5%的风险，犯第一类错误』
- α错误(第一类错误)，H0正确却否定了它。即两者无差异却被当成有差异(α 设置过大)
- β错误(第二类)，H0错误却接受了它。即两者实际上有差异，但是计算后没有达到显著性水平，所以接受了零假设。(一般来说，在设定α = 0.05的情况下，如果样本数太少，犯第二类错误概率会增加，因为样本少偏差大) (当然α = 0.05设置过小也会抹除差异)
最后说说一个大家不知道会不会有的困惑？
我怎么知道我研究的总体是不是服从正态分布的？
或者说，我怎么通过采集的样本推断总体是不是服从正态分布的？
因为我们现在的假设检验，基本都是基于总体服从正态分布的前提下做的，如果一开始这个前提就不成立，那不是白干了。
还记得老师让我们记得图吗？
鱼群
我们将数据画个一个频数分布直方图，看看它大致的形状是不是符合正态分布，如果符合钟型，那说明可以用正态分布，如果不废话，那可能需要做一定的转换，将数据变成正态分布(这个转换我就不懂了)。
『统计推断』先写怎么多吧
参数估计(点估计、区间估计)有空再写吧
我个人水平有限，若有谬误，劳烦指出，我会尽快更正
如果有讲的不清楚，或者漏了什么没讲的，可以联系我一起讨论
作者：发哥
链接：发哥的档案室 - 简书
來源：简书
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