可数的无限?

1. 门前大桥小游过一群鸭

唐朝时,有位天才儿童看见池塘里群鹅戏水,有感而发写下脍炙人口诗篇《咏鹅》

在天朝,也有位骨骼惊奇的少年看见小河边一群鸭子游过,不由的出口成歌:

门前大桥下,游过一群鸭。快来快来数一数,2,4,6,7,8~

咕 嘎 咕 嘎  真TM多呀  数不清到底多少鸭  数不清到底多少鸭

赶鸭老爷爷  胡子白花花  唱呀唱着家乡戏  还会说笑话

小孩儿小孩儿  快快上学校  别考个鸭蛋抱回家  别考个鸭蛋抱回家~

对于这位少年来说,这鸭子实在太多,我想,如果超过10个,对于他来说就是相当于无限了。

2. 没有终结

记得小时候去拜菩萨,拜的很诚心,头都磕破了。我确实是心里装着事,我暗恋幼儿班的小红很久了,她到底什么时候才能懂我的心?

心诚则灵,这话绝对没有说错。庙里的泥菩萨开口对我说话了。

菩萨上来就问我数学题:1的下一个数是多少呀?

我充满自信的大声说道:1的下一个数不就是1+1嘛,等于2

菩萨继续问:2的下一个数呢?

我迟疑了一会:应该是3吧

菩萨又接着问:3的下一个数呢?

这个我知道,马上答道:这不就是6嘛

菩萨点了点头,赞许的说:看来你笨的不是很离谱。当年你是天蓬大元帅养的宠物猪,后因偷喝仙酒而发酒疯闹事,被天庭打入凡间。经过多代转世,你终于由猪变人,现在我是来带你渡劫的。

我立马发问:菩萨啊,这渡劫不是道教的专业名词吗?你一个和尚怎么用这个词汇?

菩萨有点不耐烦: shut up! motherfucker! 不要太在意细节

观世音顿了顿继续说:你要历经自然数难,方能得道成佛

我高兴极了,在我眼里,这自然数难不比八十一难来得多。但又同时很悲哀。如果我成了佛,也就是一个和尚,不就是不能上小红了?而且和尚也没有什么发型,小红最不喜欢没品位的男子了。

后来,我发现我想多了。只有一点我猜对了,那就是上不了小红。

因为自然数虽然可以一个个数出来,但是它显然是无限的,根本停不下来。

而且为了让我经历无限的磨难,观音逼迫我成为了一名码农。从此,我们决裂,再无来往。所以,不用问我要观音的联系方式了,我已经很久不联系他了,他应该换号码了。

3. 数不清的无限(1)

年幼的我经过观音菩萨的点化,模糊的懂得了无限的东西也可能是可数的这一精妙思想。

经过简单的推倒,我们还可以发现偶数数列可以和自然数数列构成一一对应,这在数学上称作“等势”。整体似乎并不再大于部分了。

这些自然数都是可以数得清的无限,那么非自然数会不会也是可数的?

我们一起来探索一下,在看看两类数字,一类是有理数,可以写成诸如b分之a这样的形式,其小数点后面的数字出现是有规律可循的;另一类是无理数,小数点后面的数字是狂放不羁,找不到轨迹的。

首先我们需要一个判断一组无限长的数字是否可数的标准。通过考察自然数,这个标准是很好建立的,即其从第一个数开始,能依次找到下一个数。

换而言之,我们只要能把有理数或者无理数排成从小到大的序列,我们就成功了。如果构造这个序列失败了,就说明它是不可数的。

这样一想,思路似乎开阔了很多。气血都活了,刚才我去上厕所,一路屁放过去,中间都不带卡顿。就跟战斗机拉烟一样。

对于形如:

有理数

a,b可为任意自然数,而a与b的值可以通过加法和减法运算构建任意新值。

对于任意一个b,我们都可以使a为1,并持续a+1得到新数

对于任意一个a,我们都可以使b为1,并持续b+1得到新数

把构造出的所有数字消重,我们便得到了每一个元素唯一,并且有找到其上一个和下一个元素的办法。如果要将上面a与b持续+1的过程图形化,我们可以建立出如下如表:

上面这张图就是康托尔的对角线法。他是现代集合论的奠基人。其实你比划比划也可以画出来,不是嘛?

4. 数不清的无限(2)

如果仔细把玩对接线法,你会发现真的可以玩很久,在很多地方玩它。有些人经常说女神的腿他可以玩一年,而这个对角线法真的是可以玩一辈子。

回顾一下,关于偶数可数的构造,不正是通过一个乘以2的计算过程来证明的嘛?从这个意义上来讲,偶数的可数和有理数的可数构造都类似于将一个参数传入某一函数的过程。找等势的过程和写程序差不多啊。让我继续保持对这种思维方式的思考,以后我们还会陆陆续续的接触到它。它的身影无处不在。

现在,我们来构造无理数数列。

由于无理数数列的特性,我们无法给到一个直观表达,只能用抽象的字母表示。以下是我列出的无理数列:

N代表整数部分

要打破这固若金汤的构造,我们需要尝试去构造一个数字,而这个无理数是在上面的数列之外的。

这个数我们姑且给它命名为X-number:

                   X-number=0.abcde.......

我们令a不等于a1,b不等于b2,c不等于c3,d不等于d4  。。。 而X-number具备无限位,因此上面的数列不可能包含这个数字。

如此看来,无理数是不可数的了。再回过头对比一下可数的有理数,将会有下面的发现:

你的头变大了

推荐阅读更多精彩内容