一些经济和生物的应用，这里简单用下即可
Consumer Surplus 消费者剩余
这里p是price价格， x是卖的个数
而这里 P = p（X）是当前的价格
如果我们把曲线分成n份，则有
这个时候，
p(xi) - P 就是每个节约的钱
则有
当n->无穷大 的时候，对应的求和为：
这个值，就是Consumer Surplus 消费者剩余
练习
当对应的卖500的时候
我们可以得到对应的 p价格：
根据Consumer Surplus 消费者剩余的定义：
Blood Flow 血液流动
这里会讨论
the law of laminar flow 层流的法则
大体是：
the law of laminar flow
自己在网上找了一个图：
大体能表示对应的一些属性和变量，这里：
- η ：流体粘度系数
- l ： 管子长度
- P ： 压力差
- R ： 大半径
- r ： 小半径
- v ： 流速（体积/单位时间）
对于上面式子，这里给了一个简单的推导：
根据压力差，可以得到dv和dr的关系
再求积分，可以得到：
这里对于下图，
面积的近似值为：
这个时候，可以被近似理解成，切成了很多片
单位时间，血的体积为
对应所有的体积和为：
n为无穷大的时候，可以表示为：
这就是 Poiseuille’s Law 泊肃叶定律
Cardiac Output 心输出量
下图是 cardiovascular system 心血管系统 的图示：
一些名词解释：
- vessel ： 血管
- vein ： 静脉
- arteries ： 动脉
- pulmonary arteries ： 肺动脉
- pulmonary veins ： 肺静脉
- aorta ： 主动脉
- atrium ： 心房
- left atrium ： 左心房
- right atrium ： 右心房
Cardiac Output 心输出量
这里 心脏单位时间pump出的心输出量，就是 aorta主动脉 流动的量
一些名词解释：
- dye dilution method 染料稀释法
- The dye dilution method is used to measure the cardiac output
- 染料稀释法用于测量心输出量
- 流动过程
- Dye is injected into the right atrium and flows through the heart into the aorta
- 染料注入右心房，流经心脏，最后进入主动脉
- 你大爷的，为什么要用dye染料， 而不用血液....
- 大体内容
- 心脏会处理dye染料，在[0，T]的时间段内不停的运作，知道染料被清除
- 时间ti-1 到 ti 这段时间， 对应流动的检测量为：
也就是： **concentration �浓度 乘以 volume� 体积 **
对应的和为：
当n趋于无穷大，总量A，可以表示为：
那么，心输出量F，可以表示为：
这里A 可以可以得到的。
例子
大体是， 5mg的染料（对于这个词，真感觉不适应），被注入右心房
在主动脉，对应的浓度（毫克/升）每秒被检测到图表上
估计 心输出量。
这里：
- A = 5
- 单位时间 为 ：1
- 总时间为： 10
根据 ** Simpson’s Rule 辛普森法则**
（具体可以参考 Simpson's Rule）
（或者看 James Stewart Calculus 5th Edition的7.7， 也有说明）
我们区间求积分
对应的近似值为：
这个时候，
对应的 新输出量F 为：
一些记录
这里 血液流动方面，还有一些自己不理解的
有时间了，再看看，先记录下
