数术记遗——盘点我国古代那些失传了的计算神器

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引言

《数术记遗》是我国最早记载珠算的古籍,为汉代数学家徐岳撰写,由北周(南北朝时期)数学家甄鸾注解[1]。书中记录了14种计算方法,分别为积算、太一、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算、计数,除了最末的计数属于心算,其余13种均有相应的计算工具。

截图自《数术记遗》

但由于书中没有插画,极简的文言文又无法将这些工具的模样详细说清,便给后人留下了「哥德巴赫猜想」式的谜题。现今的一些学者根据严肃的科学考证,提出了多种可能的推想图,将古代这些有趣的算具再次呈现在世人面前。其中最为主流的,要数李培业[2]推想图,请容我在其基础上加入一点自己的合理优化,让它们以更亲切的形式与大家见面。

让我们一起领略,在那没有计算机的年代,来自古人的非凡智慧。

积算

积算,今之常算者也。以竹为之,长四寸,以放四时,方三分,以象三才。言算法是包括天地,以烛人情。数始四时,终于大衍,又加循环,故曰「今之常算是也」。

积算又称筹算(确切地说是指筹算中最经典、最主流的一种),是我国古代在算盘出现以前最为常用的计算方法。所用工具叫算筹,算筹是一根根小小的棍子,说的是「以竹为之,长四寸」,其实从兽骨到金属,制作算筹的材质多种多样,不同时期算筹的长度也不尽相同。

筹算用棍子的纵横组合摆放来表示数字,分有纵横两式,纵式摆法中以竖棍表示1、横棍表示5,横式摆法中以横棍表示1、竖棍表示5。

1 2 3 4 5 6 7 8 9
纵式
横式

不同数位上纵横式交替使用,「一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当。」(语出《孙子算经》)

2 0 1 8
横式 纵式 横式 纵式

详细介绍可见《运筹帷幄》一文。

太一

太一算,太一之行,去来九道。

刻板横为九道,竖以为柱,柱上一珠,数以下始。故曰「去来九道」也。

太一算的工具是一种古老的算盘。算盘上刻9道横线,从下至上分别表示1~9,纵线代表数位,算珠置于9线以上或1线以下表示0。

太一算表示的2018

两仪

两仪算,天气下通,地禀四时。

刻板横为五道,竖以为位。一位两珠,上珠色青,下珠色黄。其青珠自上而下,至上第一刻主五,第二刻主六,第三刻主七,第四刻主八,第五刻主九;其黄珠自下而上,至下第一刻主一,第二刻主二,第三刻主三,第四刻主四,而已。故曰「天气下通,地禀四时」也。

两仪算的工具也是古老算盘的一种。算盘和太一一样画成棋盘状,使用青黄两种颜色的算珠。黄珠自下而上,所置横线分别表示1~4;青珠自上而下,所置横线分别表示5~9;两珠停于上下开外表示0。

两仪算表示的2018

三才

三才算,天地和同,随物变通。

刻板横为三道,上刻为天,中刻为地,下刻为人,竖为算位。有三珠,青珠属天,黄珠属地,白珠属人。又其三珠能行三道:若天珠在天为九,在地主六,在人主三;其地珠在天为八,在地主五,在人主二;人珠在天主七,在地主四,在人主一。故曰「天地和同,随物变通」。亦况三元,上元甲子一、七、四,中元甲子二、八、五,下元甲子三、九、六,「随物变通」也。

三才算的工具也是古老算盘的一种。算盘同样是棋盘状,从上至下的三道横线分别名为天线、地线、人线。算珠有三种颜色,青珠称为天珠,黄珠称为地珠,白珠称为人珠。青珠置于天线为9、置于地线为6、置于人线为3,黄珠置于天线为8、置于地线为5、置于人线为2,白珠置于天线为7、置于地线为4、置于人线为1,三珠置于上下开外为0。

三才算表示的2018

《周易》将天、地、人称为三才,三才之珠在天地人间游走,可谓「天地和同,随物变通」也。

五行

五行算,以生兼生,生变无穷。

五行之法,水玄生数一,火赤生数二,木青生数三,金白生数四,土黄生数五。今为五行算,色别九枚,以五行色数相配,为算之位。

五行算是筹算的一种,这里的算筹染有五行所对应的黑、红、青、白、黄五种颜色。黑筹表示1、红筹表示2、青筹表示3、白筹表示4、黄筹表示5,5以上就用两种颜色组合表示,黄黑筹表示6、黄红筹表示7、黄青筹表示8、黄白筹表示9。

五行算表示的2018

写到这里,我满脑子都是《千字文》那句霸气的「天地玄黄,宇宙洪荒。」

八卦

八卦算,针刺八方,位阙从天。

为算之法,位用一针,锋所指以定算位。数一从离起,指正南离为一、西南坤为二、正西兑为三、西北乾为四、正北坎为五、东北艮为六、正东震为七、东南巽为八,至第九位阙,即在中央竖而指天,故曰「位阙从天」也。

八卦算比较特别,在八卦图上用针的指向表示数字,有点像现在的圆盘时钟。从针尖朝南表示1开始,沿顺时针顺序依次表示1~8,针尖朝上竖在中间表示9。

八卦算表示的2018

九宫

九宫算,五行参数,犹如循环。

九宫者,即二四为肩、六八为足、左三右七、戴九履一、五居中央;五行参数者,设位之法依五行,巳注于上是也。

我国古代的天文学家把星空分为九宫格,在这九个格子里填上数字,便成了中国最早出现的幻方。

任意一行、一列、或对角线之和均为15

定睛一看,这布阵不正是洛书么!

图片来自《算法统宗》首篇

九宫在《数术记遗》所列的算法中最为特殊。其他算法都是将数字置于不同的数位以表示不同的数值,即固定数位,让数字在数位上变动,这比较符合常理;而九宫则将幻方九数定死,将代表不同数位的珠子摆到数字上,即固定数字,让数位在数字上变动。这位发明者真是脑洞清奇。

这么看,九宫的算具也是算盘的一种。

数位用不同颜色的珠子表示,还是五行之色。

十万 百万 千万 亿
玄珠 赤珠 青珠 白珠 黄珠 赤线系黄珠 青线系黄珠 白线系黄珠 黄线系黄珠

可谓眼花缭乱。

九宫算表示的2018

这读数得有多吃力,何苦如此折腾,着实令人费解……

运筹

运筹算,小往大来,运于指掌。

此法位别须算筹一枚,各长五寸,至一筹上各为五刻,上头一刻近头,一刻之其下四刻迭相去一寸,令去下一头亦一寸也。

运筹,顾名思义,想必也是筹算的一种。筹上刻了5条横线,两两相隔一寸,最上面一条靠近上端,最下面一条距离下端一寸。5条刻线从下至上分别表示1~5,把筹倒过来拿,刻线从下至上数分别表示6~9

众所周知,3寸为10cm,这一寸的间隔,正好能容一指的宽度。把一根根这样的算筹夹在指间,用指关节表示数位。

左:运筹算表示的359(图片来自《世界珠算宝典》P751) 右:没错是我自己的手了,加了滤镜依然不堪入目……

如果运筹帷幄的张良用的是这种算筹,可想而知帷帐之中是怎样一幅疯狂「转笔」的景象……

了知

了知算,首唯秉五,腹背两兼。

了算之法,一位为一了字,其了有三曲。其下股之末,内主一,外主九;下次第一曲,内主二,外主八;其第二曲,内主三,外主七;其第三曲,内主四,外主六;当了字之首独立五。故曰「首唯秉五,腹背两兼」也。

用一个「了」字代表一个数位,算子放在「了」的不同位置表示不同数字。

了知算表示的2018

这种算法显然是石子计数发展的产物,这种算具也可以视为一种算盘吧。

成数

成数算,春夏生养,秋冬收成。

算之法,为别须五色算一枚。其一算之象头各以黄色为本,以生数也;余色为首,其五行各配土为成数也。水玄生数一,成数六;火赤生数二,成数七;木青生数三,成数八;金白生数四,成数九。若以首向东及南,为生数;向西及北,为成数。

成数算是一种筹算,与五行算的工具基本相通,也是使用五行之色相互搭配表示数字,在此基础上还引入了朝向的含义:朝东或朝南放的称为生数,表示1~4;朝西或朝北放的称为成数,表示6~9;单色黄筹怎么放都表示5。

古时看方位的习惯与现在恰好是相反的,为上南下北左东右西,理解起来难免会有些别扭。简单地说,1~4朝上或朝左放,6~9朝下或朝右放。

画着画着突然发现,恰好画成了香烟的模样。

如此,从1到9,每个数字便都有了一纵一横的两种摆法,与积算中的纵横两式不谋而合,摆数时纵横交错使用。

成数算表示的2018。我特意没有给0留空,得益于纵横式相间使用的规则,连续的竖筹之间必然有0,懂行的人也便不会把它读成218。

东南为春夏,曰生数;西北为秋冬,曰成数。是可谓「春夏生养,秋冬收成」,算法与四季规律完美吻合。

把头

把头算,以身当五,目视四方。

把头之法,位别须算二枚,一漫[3]一齿者。一面刻为一,其一面为二,一面为三,其一面为四也。漫者为把、为猶[4],即当五算;至齿者为把头,一目当一算。故曰「以身当五,目视四方」也。

把,耙也,可以理解为猪八戒扛的那种农具。

把头算也是筹算,用一横一竖两根算筹表示数字,组合起来其形如耙。把头刻线,故称齿筹,刻一至四条线表示1~4;把身光溜溜,称漫筹,表示5。两者组合即可表示6~9

可见,把头算要准备四种齿筹。但细细琢磨原文描述,也许只要两种齿筹,正反面刻线。

把头算表示的2018

龟算

龟算,春夏秋成,遇冬则停。

为算之法,为别一龟,龟之四面为十二时。以龟首指寅为一,指卯为二,指辰为三,指巳为四,指午为五,指未为六,指申为七,指酉为八,指戌为九,指亥、子、丑龟头指不以为数。故云「遇冬则停」也。

我国古代以天干地支计时历法,一年四季与十二地支的对应关系正是寅卯辰春、巳午未夏、申酉戌秋、亥子丑冬。

正月 二月 三月 四月 五月 六月 七月 八月 九月 十月 十一月 腊月

十二地支围成一圈,中间放个乌龟(当然应该不会是真的乌龟),龟头所指便表示相应的数字,像极了现在的钟表。春夏秋三季的地支表示1~9,冬季的地支不做用处,故曰:「春夏秋成,遇冬则停。」

我特意将十二地支按照钟表的数字顺序排列,俨然一口「龟钟」……
龟算表示的2018

珠算

珠算,控带四时,经纬三才。

刻板为三分,其上下二分以停游珠,中间一分以定算位。位各五珠,上一珠与下四珠色别。其上别色之珠当五,其下四珠,珠各当一[5]。至下四珠所领,故云控带四时。其珠游于三方之中,故云「经纬三才」也。

《数术记遗》是最早提到「珠算」一词的古籍,此处的珠算在本质上已与现今的十分接近,只是在形式上略有不同。

算珠有两种颜色,此处用黑白表示。每个数位上有黑珠1颗、白珠4颗。黑珠表示5,白珠表示1。算盘分为上中下三块区域,算珠组合置于中间区域以表示1~9,五珠置于上下区域表示0。

珠算表示的2018

结语

统览十三种算法,可谓眼花缭乱,然从其所依托的工具来看,除了八卦与龟算,其余的无外乎筹算与珠算两大门类,而八卦和龟算又迷之相似,若要给它们起个门类的话,统称「指针算」也无妨吧。

  • 筹算:积算、五行、运筹、成数、把头。
  • 珠算:太一、两仪、三才、九宫、了知、珠算。
  • 指针算:八卦、龟算。

其实这些所谓的算法,在《数术记遗》中也仅体现了数字和数位的表示方法,至于如何运算,仍是依赖于相应的心算口诀的。但仅是单纯地将算具的外形、颜色、摆法与数字关联起来,古人就赋以了五行八卦、天干地支、四季星辰等等经典的自然哲学,看似复杂,其实一通百通,都是「一生二,二生三,三生万物」的简单规律,深刻体现了我国古代哲学与数学的高度契合。

我不禁想到华夏文明之滥觞——河出图,洛出书。我国辉煌灿烂的历史,正源自这两幅大道至简的数字布阵图。人类的终极智慧,往往也是智慧的源头。

图片来自《算法统宗》首篇

参考文献


  1. 学术界也有观点认为《数术记遗》是甄鸾托徐岳之名自撰自注的,尚存争议。

  2. 百度百科:李培业(1934~2011),中国50年代以来进行数学史研究的代表人物之一,对《数术记遗》做了深入研究,提出其中记载的十三种计算工具的复原图(被珠算界命名为「李培业推想图」),并制造出复原模型,在内蒙古师范大学算具展览馆及南通珠算博物馆展出。

  3. 《世界珠算通典》解释为「漫,同曼,长也。」但我更倾向于理解为「光滑」, 与齿筹刻线相对。

  4. 猶字何解,实在不知。

  5. 我参考了5个版本的《数术记遗》,此句中均没有「五」字,即「其上别色之珠当其下四珠,珠各当一。」在包括《世界珠算通典》在内的诸多文献中,则理所当然地抄录为「其上别色之珠当五,其下四珠,珠各当一。」一字之差,句意便有了「上珠等价于四」和「上珠表示五」的区别,前者更贴近原文,而后者更符合算盘的构造。究竟是古籍的笔误,还是今人的误解,暂无可考,此处权且按有「五」解释。

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