小朋友学奥数(12):组合

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海天一树X
2017.11.29 23:08* 字数 765

一、定义

从n个不同的元素中,任取m(m≤n)个元素为一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。

二、例题

从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法?
分析:
有3种:甲乙,甲丙,乙丙。

三、排列与组合的关系

组合和排列不同的地方,在于组合是顺序无关的,而排列跟顺序有关系。
比如,甲乙和乙甲是同一个组合,但甲乙和乙甲是两种不同的排列。
再比如abc是一个组合,对应的排列则有abc, acb, bac, bca, cab, cba六种。

四、公式

在推导公式之前,咱们看一个具体例子:
从a,b,c,d四个字母中取三个数,求排列数和组合数。
分析:
组合数有4个:abc, abd, acd, bcd
排列数有24个: abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb
列个表,将组合和排列对应起来

组合 排列
abc abc, acb, bac, bca, cab, cba
abd abd, adb, bad, bda, dab, dba
acd acd, adc, cad, cda, dac, dca
bcd bcd, bdc, cbd, cdb, dbc, dcb

从上表可以看出,组合与排列的区别,就是咱们上段落中所提到的,在组合的基础上进行排序就成了排列。而排序方案数实际上就是全排列,在上表中是3! = 6种
所以,得到了公式:组合 * 排序方案数 = 排列
==> 组合 = 排列 / 排序方案数

C(n, m) = A(n, m) / m!  
        = n! / [m! (n - m)!]

特别地,有C(n, 0) = 1
这里,C是combination的缩写,表示组合数。n为表示全部可选的元素,m表示要选出多少个元素。

五、计算

例1

C(3, 0) = 1
C(3, 1) = A(3, 1) / 1! = 3 / 1! = 3
C(3, 2) = A(3, 2) / 2! = 3 * 2 / 2 = 3
C(3, 3) = A(3, 3) / 3! = 3 ! / 3! = 1

例2

C(4, 0) = 1
C(4, 1) = A(4, 1) / 1! = 4
C(4, 2) = A(4, 2) / 2! = 4 * 3 / 2 = 6
C(4, 3) = A(4, 3) / 3! = 4 * 3 * 2 / 3! = 4
C(4, 4) = A(4, 4) / 4! = 4! / 4! = 1

例3

C(5, 0) = 1
C(5, 1) = A(5, 1) / 1! = 5
C(5, 2) = A(5, 2) / 2! = 5 * 4 / 2! = 10
C(5, 3) = A(5, 3) / 3! = 5 * 4 * 3 / 3! = 10
C(5, 4) = A(5, 4) / 4! = 5 * 4 * 3 * 2 / 4! = 5
C(5, 5) = A(5, 5) / 5! = 5! / 5! = 1

六、两个重要的性质

(一)从上面的三个例题中,可以发现一个规律:

C(n, m) = C(n, n - m)

证明:

  C(n, n - m) 
= n! / {(n - m)! [n - (n - m)]!}
= n! / [(n-m)! m!]
= C(n, m)

(二)

C(n, m) = C(n - 1, m) + C(n - 1, m - 1)

分析:
一个班上有n个学生,现在选出m个开除,那么有两种选法:
1 不开除班长,从剩下n - 1个里开除m个
2 开除班长,再从剩下n - 1个里开除m - 1个

证明:

combination.png


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