2021 重启强化学习(3) 多摇臂老虎机

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多摇臂老虎机

在强化学习中多摇臂老虎机相对比较简单,所以我们就从这个多摇臂老虎机说起,看如何将解决多摇臂老虎机的方法应用到推荐系统中。一个赌徒,要去摇老虎机,走进赌场一看,一排老虎机,外表一模一样,但是每个老虎机吐钱的概率可不一样,他不知道每个老虎机吐钱的概率分布是什么,那么每次该选择哪个老虎机可以做到最大化收益呢?这就是多臂老虎机问题 ( Multi-armed bandit problem, K-armed bandit problem, MAB )。

接下来我们数学的语言简单描述一些摇臂老虎机问题,以及如何用强化学习方法来解决这个问题。多摇臂老虎机是一个单一状态的蒙特卡洛规划,是一种序列决策的问题,这种问题是在利用(exploitation)和探索(exploration)之间保持平衡。

在多摇臂老虎机是简单强化学习问题

  • 无需考虑状态
  • 没有延时奖励问题,不会考虑当前状态对以后发生事情有任何影响
  • 所以就只需要学习 State-Action Value 状态行动价值函数

在摇臂老虎机中状态、动作和奖励

  • 动作: 摇哪个臂,用 A_t 表示第 t 轮的行为
    Action = (0,1,0,0)
  • 奖励: 每次摇臂获得的奖金 R_t 表示 t 时刻获取的奖励
    Reward = (0,1)
  • 状态行动价值函数(State-Action Value)
    Q^{*}(a) = \mathbb{E}[R_t|A_t=a]

假设摇臂 T 次,那么按照什么策略摇臂,才能使期望累积奖励最大,当Q^{*}(a) 已知时,每次都选择 Q^{*}(a) 最大的 a (贪心策略)

接下来介绍几种策略来解决摇臂老虎机问题

贪心策略

  • 一般情况下,Q^{*}(a) 对于玩家而言是未知的或具有不确定性。
  • 在玩家在第 t 轮时只能依赖于当时对 Q^{*}(a) 估计值 Q_t(a) 进行选择
  • 此时,贪心策略在第 t 轮选择 Q_t(a) 最大的 a

利用和探索

利用(Exploitation)

所谓利用就是在保证过去的决策中得到最佳回报,按照贪心策略进行选择的话,也就是选择估计的 Q_t(a) 最大的行为 a,这样做虽然最大化即时奖励,但是可能由于 Q_t(a) 只是对 q(a) 的估计,估计的不确定性导致按照贪心策略选择行为不一定 q^*(a) 最大的行为

探索(Exploration)

所谓探索就是寄希望在未来得到跟大的回报,选择贪心策略之外的行为(non-greedy actions) 可能短期奖励会比较低,但是长期奖励比较高,通过探索可以找到奖励更大的行为,供后续选择。

贪心策略和 \epsilon 贪心策略

贪心策略形式化地表示
A_t = \argmax_{a} Q_t(a)

\epsilon 贪心策略
  • 以概率 1 - \epsilon 按照贪心策略进行行为选择
  • 以概率 \epsilon 在所有行为中随机选择一个
  • \epsilon 的取值取决于 q^*(a) 的方差,方差越大 \epsilon 取值应该越大

根据历史观测样本的平均值对 q^*(a) 进行估计

Q_t(a) = \frac{\sum_{i=1}^{t-1} R_i \mathbb{I}_{A_i=\alpha}}{\sum_{i=1}^{t-1} \mathbb{I}_{A_i=\alpha}}

  • 约定: 当分母等于 0 时,Q_t(a) = 0
  • 当分母趋于无穷大时,Q_t(a) 收敛于 q^*(a)

行为估值的增量式

Q_n = \frac{R_1 + R_2 + \cdots + R_{n-1}}{n-1}

  • 增量式实现
    \begin{aligned} Q_{n+1} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n R_i\\ = \frac{1}{n} \left( R_n + \sum_{i=1}^{n-1} R_i \right)\\ = \frac{1}{n} \left( R_n + (n-1) \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1} R_i \right)\\ \frac{1}{n} \left( R_n + (n-1) Q_n \right)\\ \frac{1}{n} \left( R_n + nQ_n - Q_n \right)\\ Q_n + \frac{1}{n}\left[ R_n - Q_n \right] \end{aligned}

这一轮收益以及之前的均值,好处是无需每次求和。过去均值以及当前收益就可以计算出当前均值。而且可以看成更新就是将当前值更新到过去的值来实现更新。

Q_{n+1} = Q_n + \frac{1}{n}\left[ R_n - Q_n \right]

  • \frac{1}{n} 是学习率,在梯度下降中设定 \eta
  • 看起来是不是有点熟悉,
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