Little's Law 的几个练习题

Little's Law 描述的是排队系统所具有的一个内禀性质,它的数学形式非常简洁,如下:

L = 𝜆W

用语言来描述即,一个排队系统在稳定状态下,系统中个体数量的平均值 L,等于个体的到达率 𝜆(每单位时间进入队列的个体数量) 乘以个体在系统中的平均逗留时间 W。只要知道了其中的任意两个变量,那么第三个变量就可以很容易地计算出来。

在稳定状态下,可以认为系统中的个体到达率等同于个体离开率。

举个简单的例子。你正在排队结帐,有 20 个人排在你的前面。假如收银台一分钟能处理一位顾客,那么你还需要等待多久?在这里,队列长度 L=20 个,个体的到达率(实际上是离开率) 𝜆=1 个/分钟,那么,你在队列中的逗留时间大概是 W=L/𝜆=20 分钟。

初接触这个法则时可能会认为这是一个经验公式。但其实并不是,Little's Law 是一个数学定理,是可以进行严格的数学证明的。

前面已经说了,Little's Law 是排队系统的一个内禀性质,也就是说,只要存在排队的结构,L=𝜆W 的定量关系就一定成立。这里说的排队结构不一定要满足先进先出的规则,也不关心系统的任何处理细节。关键是有一个能容纳个体的系统,个体有进有出就行了。Little's Law 可以应用的场景十分广泛,像是产品库存管理,网络服务器的性能调优等场景,都有其用武之地。

下面通过几道练习题来深入理解 Little's Law。题目来自这里

卡洛琳的红酒架

卡洛琳是一个红酒爱好者。她每个月会购买 8 瓶红酒储存到自已的酒架中。同时,她偶尔会邀请朋友们到家中共饮。久而久之,卡洛琳发现,酒架中红酒的数量稳定在 160 瓶左右。你能否估算,一瓶红酒平均会在酒架上停留多久然后被喝掉?

根据已知条件:

  • L = 酒架中红酒的平均数量 = 160 瓶
  • 𝜆 = 红酒的平均买入率 = 8 瓶每月

那么,一瓶红酒在酒架上的平均留存时间为:

W = L/𝜆 = 20 个月

半导体工场

半导体工场将硅基板加工成半导体元器件。假设工场每天新进 1000 块硅基板。根据统计,我们发现在制品的数量维持在 40000 到 50000 之间。那么,一块硅基板的处理周期(从入库到出库)是多久呢?

根据已知条件:

  • L = 在制品的平均数量 = 45000 块
  • 𝜆 = 硅基板的入库率 = 1000 块每天

那么,一块硅基板的处理周期是:

W = L/𝜆 = 45 天

邮件处理

苏伊每天会收到 50 封新邮件。而弛的收件箱中总是会有大约 150 封未回复的邮件。假如苏伊每封邮件都会回复,那么一封邮件平均需要等待多久才能得到她的回复?

根据已知条件:

  • L = 收件箱中邮件的数量 = 150 封
  • 𝜆 = 收到新邮件的速率 = 50 封每天

那么,邮件的平均回复时间为:

W = L/𝜆 = 3 天

产房的床位

我们希望预估当地医院的产房需要多少床位。已知每天平均有 5 位待产妈妈入住,每位妈妈平均住宿 2.5 天。那么医院需要多少床位呢?

根据已知条件:

  • 𝜆 = 待产妈妈的入住率 = 5 位每天
  • W = 每位待产妈妈的平均住宿时间 = 2.5 天

那么,我们需要的床位数是:

L = 𝜆W = 13 个

当然,我们得到的结果是平均值,医院应当就峰值情况做好预案,否则一定会发生严重的医疗事故。

收费站

高峰时段每小时大约会有 3600 辆车经过利特尔收费站。交通局希望将等待通过的车辆控制在 20 辆以内。若要达到此目标,需要保证车辆通过收费站的时间不超过多少?

根据已知条件:

  • L = 等待通过的车辆数目 = 20 辆
  • 𝜆 = 车辆通过的速率 = 3600 辆每小时

那么,车辆通过收费站的时间应当控制在:

W = L/𝜆 = 20 秒

房地产

历史数据显示,一套房产从开始出售到最终售出平均需要 120 天。同时,市场上的待售房产的数量大约维持在 25 套。那么,一年会有多少房产售出呢?

根据已知条件:

  • L = 待售房产的数量 = 25 套
  • W = 一套房产在市场上的停留时间 = 120 天

那么,房产的售出速率为:

𝜆 = L/W = 75 套每年

面包店

你经常光顾一家面包店。敏锐的你发现店中几乎总是有 10 位顾客,每位顾客在店内停留 3 分钟左右。试估算这家面包店的客流量。

根据已知条件:

  • L = 店中的顾客数量 = 10 位
  • W = 每位顾客的停留时间 = 3 分钟

那么,面包店的客流量为:

𝜆 = L/W = 200 位每小时

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