函数调用另外一个函数是合法的；函数调用自己也是合法的。调用自己的过程称为递归函数，这个执行过程叫做递归。
递归在数据结构中经常会用到，特别是解决树的递归问题时很好用。但是想明白递归是挺烧脑的，一般即使两层、三层递归也会容易给人绕进去。要是我们了解函数在底层的存储机制，利用栈（先进后出）来进行分析，或许就容易多了。
不讲废话，直接捞干的，我们首先回忆下递归的规则，
函数递归调用的重要规则
程序执行一个函数时，就创建一个新的受保护的独立空间(新函数栈)
函数的局部变量是独立的，不会相互影响
递归必须向退出递归的条件逼近，否则就是无限递归，死龟了:)
当一个函数执行完毕，或者遇到 return，就会返回，遵守谁调用，就将结果返回给谁。
分析递归流程
我们一个例子来快速熟悉递归：
求函数值：
已知 f(1)=3; f(n) = 2*f(n-1)+1;
请使用递归的思想编程，求出f(n)的值.
编写程序
# coding=utf-8
# -*- coding:utf-8 -*-
'''
Author: Solorzhou
Email: t-zhou@foxmail.com
date: 2019/10/26 20:13
desc:
'''
def f(n):
if n == 1:
return 3
else:
return 2 * f(n - 1) + 1
print("n=", n)
if __name__ == '__main__':
f(4)
递归函数的栈图
可以看到，一个函数每次被调用时，都会在内存中创建一个帧，来包含函数的局部变量和参数，对于递归函数，栈上可能同时存在多个函数帧。当每调用一次函数f(n)时，栈顶指针就会往栈顶移动一个位置，直到满足退出递归的条件（n==1）.之后再依次返回当前的结果直接，栈顶指针往下移动。
递归，也就是先“递”后“归”。
本题则是：
f(4)=2 * f(3) + 1
f(4)=2 * (2 * f(2) + 1) + 1
f(4)=2 * (2 * (2 * f(1) + 1) + 1) + 1
f(4)=2 * (2 * (2 * 3 + 1) + 1) + 1
f(4)=2 * 15 + 1
f(4)=31
一些例子
- 斐波那契数列
请使用递归的方式，求出斐波那契数 1,1,2,3,5,8,13...
给你一个整数 n，求出它的斐波那契数是多少？
- 猴子吃桃子问题
有一堆桃子，猴子第一天吃了其中的一半，并再多吃了一个！以后每天猴子都吃其中的一半，然后再
多吃一个。当到第十天时，想再吃时（还没吃），发现只有 1 个桃子了。问题：最初共多少个桃子？
这些递归问题，当我们使用栈图来思考时就容易多了。
坚定信念
跟踪程序执行的流程是阅读程序的一个方法，但是这样很快就会陷入到迷宫境况。之前在一本书中看到作者对于递归给出了一种“坚定信念”的思想。在遇到一个程序时，不去跟踪执行的流程，而是假定函数都是正确工作的，都能够返回正确的结果。
事实上，在使用内置函数时，我们已经在尝试这样坚持信念了。如：当调用math.cos或者math.exp时，我们并不会去检查函数的内部实现。因为我们假定他是正确的，因为些内置函数的程序员肯定都很优秀。
当调用自己写的函数时，假定它也是正确的，不需要检查他的执行流程。看一个关于斐波那契数列的例子：
fibonacci(0) = 0
fibonacci(1) = 1
fibonacci(2) = fibonacci(0) +fibonacci(1)
翻译成python语言，看起来是这样：
def fibonacci(n):
if n ==0:
return 0
elif n ==1:
return 1
else:
return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)
假定写的程序是正确的，那么很明显第三个数等于前两个数字之和。以上程序运行后肯定也是正确的。
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