8.2 正则表达式的匹配过程

正则表达式所使用的理论模型就是有穷自动机,其具体实现称为正则引擎(regex engine)。用正则表达式处理字符串,首先需要生成自动机(“编译”正则对象);之后无论输入什么字符串,正则引擎都只需要老老实实地在状态之间游走。

图8-2显示了正则表达式a(bb)+a对应的自动机。

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在这台有穷自动机中,s0、s1…、s4是各个状态,s0为开始状态,s4为最终状态;转移函数很直观:比如当前状态是s0,输入字符a,则转移到s1;如果当前状态s0,输入的不是a,则直接退出。这也很好理解:该正则表达式只能匹配以a开头的字符串,否则不匹配。

图8-3说明了这台有穷自动机对字符串abbbba的处理过程。

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在经历了一系列对状态转移之后,字符串abbbba处理完毕,自动机停留在最终状态上,也就是说,字符串abbbba可以由正则表达式a(bb)+a匹配。

同一个正则表达式对应的有穷自动机不止一台,可能是若干台,这些有穷自动机是等价的。同样是a(bb)+a,它可以对应到如下对两台完全等价对有穷自动机。

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仔细观察发现,第二台自动机有些奇怪,在输入ab之后,再输入b,它所处第状态是不确定的:可能在s1,也可能在s3。但是输入a(bb)+a能匹配的字符串,它确实可以抵达最总状态s4.

图8-5所示的自动机看起来更加奇怪,但它仍于a(bb)+a是完全对应的。

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在状态s3,即便没有输入任何字符,也不会停下来,而是凭空转义到s1。也就是说,在某个时刻,自动机到底处于s3还是s1,这时不确定的!但是对于这种不确定性,并不会影响自动机对于正则表达式a(bb)+a到匹配。也就是说,这台自动机与之前的两台自动机是完全等价的。

根据状态的确定与否,一般我们会把有穷自动机(正则引擎)分为两类:一类是确定型有穷自动机(definite finite automata,简称DFA),在任何时刻,它所处的状态是确定无疑的;另一台是非确定型有穷自动机(non-definite finite automata,简称NFA),在某个时刻,它所处的状态可能是不确定的。

图8-6把上面的三台自动机做了分类,第一台是DFA,另两台是NFA。

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可以证明,DFA和NFA之间存在等价关系:也就是说,每一台DFA都可以等价转换为一台NFA,反过来也成立(具体证明过程很复杂,这里略去,有兴趣可自行查阅计算理论相关资料)。

比较正则表达式a(bb)+a和这三台自动机,会发现NFA构造起来更直观,实际上这是普遍规律:从正则表达式出发,构造NFA的难度要小于DFA。但是正如之前说的,DFA在任意时刻必定处于某个确定的状态,而NFA可能处于若干状态之中的一个,所以,如果使用NFA,就必须保存所有可能的状态,并且在某种状态不可行时“回退”到之前保存的状态,这就是正则表达式匹配中的重要概念:回溯

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