Jacob的 Python机器学习系列：
Python机器学习（一）：kNN算法
Python机器学习（二）：线性回归算法
Python机器学习（三）：梯度下降法
Python机器学习（四）：PCA 主成分分析
Python机器学习（五）：SVM 支撑向量机
机器学习研究的问题分为分类问题和回归问题。分类问题很好理解，而回归问题就是找到一条曲线，可以最大程度地拟合样本特征和样本输出标记之间的关系。当给算法一个输入时，这条曲线可以计算出相应可能的输出。回归算法最简单的就是线性回归。当样本特征只有一个时，称为简单线性回归；当样本特征有多个时，称为多元线性回归。
1.简单线性回归
由上图可知，简单线性回归只有一个特征x，一个标记y。假定x和y之间具有类似于线性的关系，就可以使用使用简单线性回归算法。假定我们找到了最佳拟合的直线方程
则对于每一个样本点x(i)，预测值如下。其中带箭头的y是预测值，称为 y head。右上角的 i 是指样本的索引。
我们希望预测值和真实值之间的差距尽量小。一般用欧氏距离来衡量。下式称为损失函数（Loss Function）
换句话说，我们的目标就是找到一组a和b，使得下式最小
通过分析不同的问题，我们需要确定问题的损失函数。通过最优化损失函数，获得机器学习的模型。几乎所有的参数学习算法都是这样的套路
那么这个问题是一个典型的最小二乘法问题，即最小化误差的平方。推导可得以下公式
可以用python封装成这种形式
"""
Created by 杨帮杰 on 10/1/18
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E-mail: yangbangjie1998@qq.com
Association: SCAU 华南农业大学
"""
import numpy as np
class SimpleLinearRegression:
def __init__(self):
"""初始化Simple Linear Regression 模型"""
self.a_ = None
self.b_ = None
def fit(self, x_train, y_train):
"""根据训练数据集x_train,y_train训练Simple Linear Regression 模型"""
assert x_train.nidm == 1, \
"Simple Linear Regressor can only solve single feature training data."
assert len(x_train) == len(y_train), \
"the size of x_train must be equal to the size of y_train"
x_mean = np.mean(x_train)
y_mean = np.mean(y_train)
"""进行向量化可以加快训练速度"""
# num = 0.0
# d = 0.0
# for x, y in zip(x_train, y_train):
# num += (x - x_mean) * (y - y_mean)
# d += (x - x_mean) ** 2
num = (x_train - x_mean).dot(y_train - y_mean)
d = (x_train - x_mean).dot(x_train - x_mean)
self.a_ = num/d
self.b_ = y_mean - self.a_ * x_mean
return self
def predict(self, x_predict):
"""给定待预测数据集x_predict, 返回表示x_predict的结果向量"""
assert x_predict.ndim == 1, \
"Simeple Linear Regressor can only solve single feature training data."
assert self.a_ is not None and self.b_ is not None, \
"must fit before predict!"
return np.array([self._predict(x) for x in x_predict])
def _predict(self, x_single):
"""给定单个待预测数据x_single, 返回x_single的预测结果值"""
return self.a_ * x_single + self.b_
def __repr__(self):
return "SimpleLinearRegression()"
衡量线性回归模型好坏有多个标准，均方误差（Mean Squared Error）、均方根误差（Root Mean Squared Error）、平均绝对误差（Mean Absolute Error）等。一般使用MSE。
而如果想像分类问题一样将评判得分限制在0和1之间，则应该使用R Square
右边一项的分子代表使用模型产生的错误，分母代表使用平均值进行预测产生的错误。分母也可以理解为一个模型，称为Baseline Model。
R Square的输出分为以下几种情况：
- R^2 = 1，则模型不犯任何错误，完美
- R^2 = 0，模型为基准模型，相当于没训练过
- R^2 < 0，数据可能不存在任何线性关系
2.多元线性回归
多元线性回归,就是指样本特征值有多个。根据这多个特征值来预测样本的标记值。那么特征X和参数Θ就是一个向量。
相类似地，我们需要找到一个损失函数。我们需要找到一组参数Θ，使下式尽可能小
为了方便进行矩阵运算，我们写成这种形式
预测值可以写成这种形式
X展开是这个样子。每一行是一个样本点，每一列（除了第一列）是一种特征
经过推导，得到这样一个公式。这成为多元线性回归的正规方程解（Normal Equation）。结果就是参数向量。
如上，可以封装成这种形式
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"""
import numpy as np
class LinearRegression:
def __init__(self):
"""初始化Linear Regression模型"""
self.coef_ = None
self.interception_ = None
self._theta = None
def fit_normal(self, X_train, y_train):
"""根据训练数据集X_train, y_train训练Linear Regression模型"""
assert X_train.shape[0] == y_train.shape[0], \
"the size of X_train must be equal to the size of y_train"
X_b = np.hstack([np.ones((len(X_train), 1)), X_train])
self._theta = np.linalg.inv(X_b.T.dot(X_b)).dot(X_b.T).dot(y_train)
self.interception_ = self._theta[0]
self.coef_ = self._theta[1:]
return self
def predict(self, X_predict):
"""给定待预测数据集X_predict, 返回表示X_predict的结果向量"""
assert self.interception_ is not None and self.coef_ is not None, \
"must fit before predict!"
assert X_predict.shape[1] == len(self.coef_), \
"the feature number of X_predict must be equal to X_train"
X_b = np.hstack([np.ones((len(X_predict), 1)), X_predict])
return X_b.dot(self._theta)
def __repr__(self):
return "LinearRegression()"
sciki-learn中使用线性回归如下
"""
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"""
from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression
# 加载波士顿房价的数据集
boston = datasets.load_boston()
# 清除一些不合理的数据
X = boston.data
y = boston.target
X = X[y < 50.0]
y = y[y < 50.0]
# 分离出测试集并拟合
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y)
lin_reg = LinearRegression()
lin_reg.fit(X_train, y_train)
# 打印结果
print(lin_reg.coef_)
print(lin_reg.intercept_)
print(lin_reg.score(X_test, y_test))
输出如下
3.总结
线性回归是许多其他回归和分类问题的基础。
它最大的优点是对数据具有很强的解释性。比如某一项的参数是正数，那么很可能这个特征和样本标记之间成正相关，反之成负相关。
优点：
- 思想简单，实现容易
- 是许多非线性模型的基础
- 具有很好的可解释性
缺点：
- 假设特征和标记之间有线性关系，现实中不一定
- 训练的时间复杂度比较高
References:
Python3 入门机器学习 经典算法与应用 —— liuyubobobo
机器学习实战 —— Peter Harrington
