第三章.数值分析

数值积分概述

研究对象： $I=\int_{a}^{b} f(x) d x$ 的数值计算方法，定积分 $I$ 是和的极限，数值积分就是将定积分 $I$ 的计算用和式近似，可表为
$I=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \approx \sum_{k=0}^{n} A_{k} f\left(x_{k}\right)$
其中 $A_k$ 为求积系数， $x_k$ 为求积节点，系数 $A_k$ 与被积函数 $f$ 无关

定义1.若求积公式对 $f(x)=1,x,\ldots,x^m$ 时精确成立，而对 $f(x)=x^{m+1}$ 不精确成立。则称该求积公式具有 $m$ 次代数精确度。

特别的，我们得到插值型求积公式的代数精度至少是 $n$ 次。

等距节点插值型求积公式称为牛顿-柯特斯公式，表示为
$\boldsymbol{c}_{k}^{(n)}= \frac{(-1)^{n-k}}{k !(n-k) !}-\frac{1}{n} \int_{0}^{n} t(t-1) \cdots(t-k+1) \times(t-k-1) \cdots(t-n) d t$

对牛顿-柯特斯公式通常只用低阶公式，为提高精度可在区间上等分为 $n$ 个小区间。

定理1 牛顿-柯特斯求积公式的误差 $R_n[f],$ 当 $n$ 为奇数, $f\in C^{n+1}[a,b]$ ，则
$\begin{aligned} R_{n}[f] &=c_n h^{n+2} f^{(n+1)}(\eta) \\ c_{\mathrm{a}} &=\frac{1}{(n+1) !} \int_{0}^{\mathrm{i}} t(t-1) \cdots(t-n) \mathrm{d} t \end{aligned}$
当 $n$ 为偶数,假定 $f\in C^{n+2}[a,b]$ ，则
$\begin{aligned} R_{n}[f] &=c_{x} h^{n+3} f^{(n+1)}(\eta) \\ c_{n} &=\frac{1}{(n+2) !} \int_{0}^{n} t^{2}(t-1) \cdots(t-n) d t \end{aligned}$

通常会使用复合梯形和复合辛普森公式。
误差分析可通过小区间叠加得到。

收敛性是指求积公式无限细分时可以收敛到积分，稳定性是指任给 $\varepsilon>0,\exists \delta>0$ 只要插值点的误差小于 $\delta$ 就有求积误差小于 $\varepsilon$ .

定理2 若求积公式中系数 $A_k>0(k=0,1,\ldots,n)$ ，则此求积公式是稳定的。

当 $n\geq 8$ 时求积系数出现负值，因此公式的稳定性不能保证。

高斯求积方法

考虑带权积分 $I(f)=\int_{a}^{b} f(x) \rho(x) d x$
其中 $\rho(x)\geq 0$ 为 $[a,b]$ 上的权函数,希望找到形如
$I(f) \approx \sum_{k=0}^{n} A_{k} f\left(x_{k}\right)=I_{n}(f)$
的求积公式，使它具有最高的代数精确度。由于系数 $A_k$ 及节点 $x_k\in [a,b]$ 对 $k=0,1,\ldots,n$ 共有 $2^n+2$ 个待定参数，根据代数精确度定义，要使公式具有 $m$ 次代数精确度，则方程个数 $m+1=2n+2$ ，由此可得 $m=2n+1$ 。也就是只要使当选择 $A_k$ 及 $x_k$ 可使上式达到 $2n+1$ 次代数精确度。另一方面，若令 $f(x)=\left(x-x_{0}\right)^{2}\left(x-x_{1}\right)^{2}\ldots (x-x_n)^{2}=w_{n+1}^{2}(x)$ ,
则
$I(f)=\int_{a}^{b} w_{x+1}^{3}(x) \rho(x) d x>0$
而 $I_n(f)=0$ ，这表明求积公式不管系数如何选择，对 $m=2n+2$ 的代数多项式不可能精确成立。

定义4 具有最高代数精确度的插值求积公式的节点 $a\leq x_0<\ldots<x_n\leq b$ ,称为高斯(Gauss)点，相应求积公式称为高斯型求积公式。
定理3 插值型求积公式的求积节点 $\{x_k\}_{k=0}^n$ 是高斯点的充分必要条件是，在 $[a,b]$ 上以这组节点为根的多项式 $w_{n+1}(x)=(x-x_0)\ldots(x-x_n)$ 与任何次数 $\leq n$ 的多项式 $p(x)$ 带权 $\rho(x)$ 正交，即
$\int_{a}^{b} p(x) w_{n+1}(x) \rho(x) d x=0$
定理4 高斯型求积公式的系数 $A_k>0(k=0,1,\ldots,n)$

高斯-勒让德求积公式
即取 $\rho(x)=1$

高斯-切比雪夫求积公式
区间 $[-1,1]$ 上权函数 $\rho(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 的正交多项式为切比雪夫多项式 $T_n(x)=\cos(n\arccos x)$ ，此时的高斯型求积公式称为高斯-切比雪夫求积公式。表示为
$\int_{-1}^{1} f(x) \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{d} x=\frac{\pi}{n} \sum_{k=1}^{n} f\left(x_{k}\right)+R_{n}[f]$
其中 $x_k=\cos\frac{2k-1}{2^n}\pi,k=1,2,\ldots,n$ 为 $T_n(x)$ 的零点，余项为
$R_{n}[f]=\frac{\pi}{2^{2 n-1}(2 n) !}-f^{(2 n)}(n), \quad n \in(-1,1)$ 。
公式由于 $A_k=\frac{\pi}{n}$ ，计算简单，又因被积函数包含因子 $(1-x^2)^{-\frac{1}{2}}$ ，
故可处理含此类因子的奇异积分。

固定部分节点的高斯求积公式
如果在求积公式中有 $m$ 个节点固定， $n$ 个节点待定，则求积公式的代数精确度为 $m+2^n-1$ 次。最常用的情形是对区间为 $[-1,1]$ ，权值函数 $\rho(x)=1$ 时要求区间端点-1或1固定，或两个端点均为固定。前者被称为高斯-拉道(Gauss-Radau)公式，后者称为高斯-罗巴托(Gauss-Lobatto)公式。

自适应求积方法

利用了相邻次细分之间积的误差和总误差的关系。

奇异积分与振荡函数积分的计算

反常积分通常是指被积函数在有限区间 $[a,b]$ 上无界的积分。下面介绍几种处理方法。

变量置换法
通过变量置换将奇点消除，使反常积分转换为正常积分。例如计算
$I=\int_{0}^{1} x^{-\frac{1}{n^{2}}} g(x) \mathrm{d} x, \quad n \geqslant 2.$
$g$ 为充分光滑的函数。
在 $x=0$ 为奇点，若令 $x=t^n$ ，则得
$I=n \int_{0}^{1} g\left(t^{n}\right) t^{n-2} d t$
为正常积分。
区间截断法
设 $I=\int_a^b f(x)dx$ , $a$ 点为奇点，则可将 $I$ 分为
$I=\int_{0}^{a+\delta} f(x) d x+\int_{a+\delta}^{b} f(x) d x$ .
用高斯型积分
$I(f)=\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$
把原式拆出分母。

对于没有现成求积公式可用得奇异积分也可用建立高斯型求积的方法处理。

无穷区间积分

变量置换
用变换 $t=e^{-x}$ 或 $t=\frac{x}{1+x}$ 可将无穷区间 $[0,\infty]$ 变换为 $[0,1]$ ，用 $t=\frac{e^x-1}{e^x+1}$ 可将区间 $\left(-\infty,\infty\right)$ 变换为 $\left(-1,1 \right)$ ，如变换后被积函数有界则可用正常积分方法计算，若变换后仍为反常积分则可用反常积分方法处理。
无穷区间截断
将无穷区间截去“尾巴”转化为有线区间，若选 $R>M$ ，使 $\ldots$
无穷区间上的高斯型求积公式
无穷区间 $[0,\infty)$ ，权函数 $\rho(x)=e^{-x}$ 的正交多项式为拉盖尔多项式，由此构造的高斯-拉盖尔求积公式为
$\int_{0}^{\infty} f(x) e^{-x} d x=\sum_{k=0}^{n} A_{k} f\left(x_{k}\right)+R_{n}[f]$

震荡函数积分

如傅里叶积分当 $n$ 较大时就是震荡函数积分， $\int_{0}^{2 \pi} f(x) \cos n x d x, \int_{0}^{2 \pi} f(x) \sin a x d x$ 。对这类积分用通常数值积分方法计算效果都不好，因此需要用特殊方法处理。下面介绍几种方法。

在零点之间积分
设被积函数振荡部分在 $[a,b]$ 上的零点为
$a \leqslant x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{p} \leqslant b$
则将 $[a,b]$ 分解为子区间 $[x_k,x_{k+1}]$ 并将各子区间积分之和。在每个子区间端点上被积函数之值为零，故可采用高斯-罗巴托求积公式，这样不必增加计算量就可得到较高精度。
Filon方法
把它分割2N各子区间，然后每两个子区间上用 $f$ 的二次插值函数近似 $f$ .

二重积分计算方法

利用不同的单积分求积公式就可得到不同的重积分求积法。

高斯求积公式

积分方程数值解法

考虑积分方程
$y(x)=\lambda \int_{u}^{0} k(x, s) y(s) d s+f(x)$
其中 $k$ 为积分方程的核， $f$ 为自由项， $\lambda$ 为参数， $k,\lambda,f$ 均为已知， $y$ 为未知函数。求积分方程的解 $y(x)$ 的数值方法就是在区间 $[a,b]$ 的某些点 $x_i(i=0,1,\ldots,n)$ 上求值 $y(x_i)$ 的近似 $y_i$ ，使误差 $|y(x_i)-y_i|$ 满足精度要求。通常可用数值积分方法把方程离散化。

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