二叉树

title: "二叉树"
date: 2015-06-25 08:59:24
categories: 数据结构
tags: 数据结构


概念

  • 树的最大度为2;
  • 分左右子树;


斜树

  • 左斜树:所有结点都只有左子树的二叉树;
  • 右斜树:所有结点都只有右子树的二叉树;
  • 其实在业务罗辑中如果真有这样的需求,那直接使用 线性表 就可以了;

满二叉树

  • 所有分支结点的度为2;
  • 所有叶子结点只能分布在最下层上;
  • 同样深度的二叉树中,满二叉树的结点数最多,叶子结点数最多;


完全二叉树

  • 二叉树从根结点出发,按着层次从左到右遍历,第i个结点的位置与满二叉树中对应结点位置完全相同;
  • 所有叶子结点只能出现在最下两层;
  • 若结点度为1,则该结点只有左子树,不存在只有右子树的情况;
  • 结点分配 先左后右

规则(特性)

  1. 每层结点数:二叉树的第i层上最多有 (n=2^i-1)个结点,(i>=1);
  • 所有结点数:深度为K的二叉树最多有(n=2^-1)个结点,(K>=1) ;
  • 对于任意一棵二叉树,n0 =叶子结点总数、n1=度为1的结点总数、n2=度为2的结点总数、n=总结点数:n0=n2+1
  • 分支线总数=n-1=n1+2n2;
  • n=n0+n1+n2;
  • n0+n1+n2-1 = n1+2n2 => n0=n2+1;
  • 满二叉树的深度:log2(n+1);
  • 完全二叉树的深度:向下取整数(log2n)+1;
  • 因为完全二叉树的所有叶子结点只能出现在最下两层,并且倒数第二层是满的情况,所以倒数第二层所在深度+1也是完全二叉树的深度;
  • 层序遍历二叉树的顺序,对于任意一个结点编号 i(1<=i<=n),i可以理解为数组下标+1,因为数组下标是从0开始的:
  • 双亲结点编号:向下取整(i/2);
  • 如果2i>n,则该结点无左孩子,否则左孩子结点是 2i;
  • 如果2i+1>n,则该结点无右孩子,否则右孩子结点是2i+1;


存储方式

  • 顺序存储,方便查询操作,并且可以根据层序遍历,合理的利用以上特性;


    binary-tree-arr
  • 链式存储,方便新增,删除操作;结构为数据域+左孩子指针+右孩子指针 (二叉链表),如果有必要的情况下可以添加双亲指针,指向结点的双亲(三叉链表),这都是根据业务需求 灵活控制 的;
    binary-tree-arr

总结:正是因为完全二叉树有以上这些规则和特点,所以我们在日常使用中尽量使用完全二叉树,存储方式最好选择顺序存储;


二叉树的遍历

  • 主要针对链式存储,按着一定顺序访问各个结点,保证每个结点仅被访问 一次,以下是根据结点访问顺序定义的;
    1. 前序:先访问根结点 -> 遍历左子树 -> 遍历右子树;先访问根结点
    • 中序:遍历左子树 -> 访问根结点 -> 遍历右子树;中间访问根结点
    • 后序:遍历左子树 -> 遍历右子树 -> 后访问根结点;后访问根结点
    • 层序:自上而下,从左到右逐层访问结点;


推导

  • 已知前序、中序,可以唯一确定一个二叉树;
  • 已知后序、中序,可以唯一确定一个二叉树;
  • 但是已知前序、后序却不能确定一棵二叉树;

线索二叉树

  • 结点度<1的情况,相应的空指针域遍历时候指向它的前驱或后继;
  • 一次遍历可以多次使用,在以后的应用中减少遍历算法,可以直接使用第一次遍历的结果;

赫夫曼树

  • 路径:结点之间的分支构成两个结点之间的路径;
  • 路径长度:两个结点之间的分支数量;
  • 树的路径长度:从树根到每一结点的路径长度之和;
  • 叶子结点带权路径长度:叶子结点到根结点的路径长度*叶子结点权值;
  • 树的带权路径长度 WPL: 所有叶子结点带权路径长度之和;
  • 赫夫曼树 : WPL 最小的二叉树。也称最优二叉树
    WPL

赫夫曼编码

  • 赫夫曼树左分支代表0,右分支代表1
  • 从根结点到叶子结点经过的分支组成0和1的序列称为叶子结点对应的字符编码,即赫夫曼编码
    WPL-code
最后编辑于
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 156,069评论 4 358
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 66,212评论 1 287
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 105,912评论 0 237
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 43,424评论 0 202
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 51,741评论 3 285
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 40,194评论 1 206
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 31,553评论 2 307
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 30,289评论 0 194
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 33,923评论 1 237
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 30,251评论 2 240
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 31,775评论 1 255
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 28,144评论 2 249
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 32,698评论 3 228
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 25,936评论 0 8
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 26,658评论 0 192
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 35,214评论 2 267
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 35,159评论 2 258

推荐阅读更多精彩内容

  • 数据结构和算法--二叉树的实现 几种二叉树 1、二叉树 和普通的树相比,二叉树有如下特点: 每个结点最多只有两棵子...
    sunhaiyu阅读 6,322评论 0 14
  • 四、树与二叉树 1. 二叉树的顺序存储结构 二叉树的顺序存储就是用数组存储二叉树。二叉树的每个结点在顺序存储中都有...
    MinoyJet阅读 1,449评论 0 7
  • 树和二叉树 1、树的定义 树(Tree)是由一个 或 多个结点 组成的有限集合T,且满足: ①有且仅有一个称为根的...
    利伊奥克儿阅读 1,275评论 0 1
  • 编程中我们会遇到多少挫折?表放弃,沙漠尽头必是绿洲。 学习二叉树的意义 由于二叉树的知识更倾向于理论,所以我们在实...
    神经骚栋阅读 6,178评论 5 57
  • 树的概述 树是一种非常常用的数据结构,树与前面介绍的线性表,栈,队列等线性结构不同,树是一种非线性结构 1.树的定...
    Jack921阅读 4,373评论 1 31