06 EM算法 - 案例一 - EM分类初识及GMM算法实现

05 EM算法 - 高斯混合模型 - GMM

多元正态分布 - multivariate_normal API参考链接:

https://docs.scipy.org/doc/numpy-dev/genindex.html
http://scipy.github.io/devdocs/
http://scipy.github.io/devdocs/stats.html
http://scipy.github.io/devdocs/generated/scipy.stats.multivariate_normal.html#scipy.stats.multivariate_normal

很多我们运用到的函数都在scipy库中,比如numpy是用一些Python基础语法,然后加上scipy函数来写出来的。

常规操作:

import numpy as np
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

from scipy.stats import multivariate_normal#多元正态分布
from sklearn.mixture import GaussianMixture#GMM Gaussian Mixture Model
from sklearn.metrics.pairwise import pairwise_distances_argmin

# 解决中文显示问题
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = [u'SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 设置在jupyter中matplotlib的显示情况(默认inline是内嵌显示,通过设置为tk表示不内嵌显示)
%matplotlib tk

高斯混合模型的库:sklearn.mixture.GaussianMixture

PS:在0.18版本以前是sklearn.mixture.GMM,两者的参数基本类型,这里主要介绍GaussianMixture的相关参数。

属性参数:

n_components: 混合组合的个数,默认为1, 可以理解为聚类/分类数量。\color{red}{有几个独立的高斯分布k - 工作中有价值去调的参数就这一个。}

covariance_type: \color{red}{第k分类的条件下样本的协方差 - ∑k}给定协方差的类型,可选: full、tied、diag、spherical
默认为full;
full:每个组件都有自己的公用的协防差矩阵。即,每一个协方差矩阵都不相等。\color{red}{ ∑1、∑2、...、∑k都不相等。}
tied:所有组件公用一个协方差矩阵。即,每一个协方差矩阵都相等。\color{red}{ ∑1 = ∑2 =、...、= ∑k}
diag:每个组件都有自己的斜对角协方差矩阵。

diag对应的协方差矩阵

spherical:每个组件都有相同的方差值;

spherical - 其中σ1~σn都相等

tol:默认1e-3,收敛阈值,如果在迭代过程中,平均增益小于该值的时候,EM算法结束。

reg_covar:协方差对角线上的非负正则化参数,默认为0 - 表示不用非负正则化。
max_iter: em算法的最大迭代次数,默认100。
n_init: 默认值1,执行初始化操作数量,该参数最好不要变动。

init_params:初始化权重值、均值以及精度的方法,参数可选:kmeans、random
默认kmeans;
kmeans:使用kmeans算法进行初始化操作。

weights_init:初始化权重列表,如果没有给定,那么使用init_params参数给定的方法来进行创建,默认为None。
means_init:初始化均值列表,如果没有给定,那么使用init_params参数给定的方法来进行创建,默认为None。
precisions_init: 初始化精度列表,如果没有给定,那么使用init_params参数给定的方法来进行创建,默认为None。

warn_stat:默认为False,当该值为true的时候,在类似问题被多次训练的时候,可以加快收敛速度。

1、使用scikit携带的EM算法或者自己实现的EM算法

def trainModel(style, x):
    if style == 'sklearn':
        print("sklearn")
        # 对象创建
        g = GaussianMixture(n_components=2, covariance_type='full', 
           tol=1e-6, max_iter=1000, init_params='kmeans')
        # 模型训练
        g.fit(x)
        # 效果输出
        print('类别概率:\t', g.weights_[0])
        print('均值:\n', g.means_, '\n')
        print('方差:\n', g.covariances_, '\n')
        print('似然函数的值:\n', g.lower_bound_)
        mu1, mu2 = g.means_
        sigma1, sigma2 = g.covariances_
        # 返回数据
        return (mu1, mu2, sigma1, sigma2)
    else:
        ## 自己实现一个EM算法
        ## 迭代100次
        num_iter = 100
        n, d = data.shape
        
        # 初始化均值和方差正定矩阵(sigma叫做协方差矩阵)
        mu1 = data.min(axis=0)
        mu2 = data.max(axis=0)
        sigma1 = np.identity(d)
        sigma2 = np.identity(d)
        pi = 0.5 # 属于第一类高斯分布的概率
        print("随机初始的期望为:")
        print(mu1)
        print(mu2)
        print("随机初始的方差为:")
        print(sigma1)
        print(sigma2)
        print("随机初始的π为:")
        print([pi, 1-pi]) #1-pi就是属于第二类高斯分布的概率
        
        # 实现EM算法
        for i in range(num_iter):
            # E Step
            # 1. 计算获得多元高斯分布的概率密度函数
            norm1 = multivariate_normal(mu1, sigma1)
            norm2 = multivariate_normal(mu2, sigma2)
            # 2. 计算概率值
            tau1 = pi * norm1.pdf(data)
            tau2 = (1 - pi) * norm2.pdf(data)
            # 3. 概率值均一化(即公式中的w)
            gamma = tau1 / (tau1 + tau2)
            
            # M Step
            # 1. 计算更新后的均值
            mu1 = np.dot(gamma, data) / np.sum(gamma)
            mu2 = np.dot((1 - gamma), data) / np.sum((1 - gamma))
            # 2. 计算更新后的方差
            sigma1 = np.dot(gamma * (data - mu1).T, data - mu1) / np.sum(gamma)
            sigma2 = np.dot((1 - gamma) * (data - mu2).T, data - mu2) / np.sum(1 - gamma)
            # 3. 计算更新后的π值
            pi = np.sum(gamma) / n
            
            # 输出信息
            j = i + 1
            if j % 10 == 0:
                print (j, ":\t", mu1, mu2)
        
        # 效果输出
        print ('类别概率:\t', pi)
        print ('均值:\t', mu1, mu2)
        print ('方差:\n', sigma1, '\n\n', sigma2, '\n')
        
        # 返回结果
        return (mu1, mu2, sigma1, sigma2)

2、创建模拟数据

# 创建模拟数据(3维数据)
np.random.seed(28)
N = 500
M = 250

## 根据给定的均值和协方差矩阵构建数据
mean1 = (0, 0, 0)
cov1 = np.diag((1, 2, 3))
## 产生400条数据
data1 = np.random.multivariate_normal(mean1, cov1, N)

## 产生一个数据分布不均衡的数据集, 100条
mean2 = (2, 2, 1)
cov2 = np.array(((3, 1, 0), (1, 3, 0), (0, 0, 3)))
data2 = np.random.multivariate_normal(mean2, cov2, M)

## 合并data1和data2这两个数据集
data = np.vstack((data1, data2))

## 产生数据对应的y值
y1 = np.array([True] * N + [False] * M)
y2 = ~y1
print(y1)
print('---------')
print(y2)

输出:

[ True  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True
  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True
  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True
  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True
  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True
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 False False False False False False]
---------
[False False False False False False False False False False False False
 False False False False False False False False False False False False
 False False False False False False False False False False False False
 False False False False False False False False False False False False
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  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True  True
  True  True  True  True  True  True]

3、预测结果(得到概率密度值)

style = 'sklearn'
style = 'self'
mu1, mu2, sigma1, sigma2 = trainModel(style, data)

预测分类(根据均值和方差对原始数据进行概率密度的推测)

norm1 = multivariate_normal(mu1, sigma1)
norm2 = multivariate_normal(mu2, sigma2)
tau1 = norm1.pdf(data)
tau2 = norm2.pdf(data)

随机初始的期望为:
[-3.2408628 -3.85600655 -5.36300731]
[8.18151162 6.20669356 5.719554 ]
随机初始的方差为:
[[1. 0. 0.]
[0. 1. 0.]
[0. 0. 1.]]
[[1. 0. 0.]
[0. 1. 0.]
[0. 0. 1.]]
随机初始的π为:
[0.5, 0.5]
10 : [0.15631385 0.06809082 0.04857579] [2.44502406 2.45578419 0.9091761 ]
20 : [0.14397974 0.04785923 0.04506974] [2.28240941 2.30685014 0.84484619]
30 : [0.14088163 0.02935465 0.03209345] [2.15917602 2.21594906 0.82923206]
40 : [0.13934104 0.01693114 0.0228729 ] [2.08010249 2.1564362 0.8189457 ]
50 : [0.13836058 0.00937934 0.01770358] [2.03246294 2.11908375 0.81057717]
60 : [0.13774293 0.00491933 0.01495515] [2.0042425 2.09629406 0.80446921]
70 : [0.13736483 0.00229644 0.01348018] [1.98756296 2.08257617 0.80038644]
80 : [0.13713691 0.00075078 0.01266793] [1.97769407 2.07437102 0.79779292]
90 : [ 0.13700051 -0.00016251 0.01220949] [1.97184694 2.06947843 0.79619181]
100 : [ 0.13691916 -0.00070326 0.0119459 ] [1.96837906 2.06656572 0.79521918]
类别概率: 0.6899093466771541
均值: [ 0.13691916 -0.00070326 0.0119459 ] [1.96837906 2.06656572 0.79521918]
方差:
[[ 0.95205447 0.1172476 -0.03011033]
[ 0.1172476 2.17736238 0.01510168]
[-0.03011033 0.01510168 2.69115809]]

[[ 3.94127407 1.31328462 -0.26576838]
[ 1.31328462 3.4491304 0.12676854]
[-0.26576838 0.12676854 2.94238901]]


4、计算均值的距离,然后根据距离得到分类情况

dist = pairwise_distances_argmin([mean1, mean2], [mu1, mu2], metric='euclidean')
print ("距离:", dist)
if dist[0] == 0:
    c1 = tau1 > tau2
else:
    c1 = tau1 < tau2
c2 = ~c1

计算准备率

acc = np.mean(y1 == c1)
print (u'准确率:%.2f%%' % (100*acc))

距离: [0 1]
准确率:85.07%


5、画图

fig = plt.figure(figsize=(12, 6), facecolor='w')

## 添加一个子图,设置为3d的
ax = fig.add_subplot(121, projection='3d')
## 点图
ax.scatter(data[y1, 0], data[y1, 1], data[y1, 2], c='r', s=30, marker='o', depthshade=True)
ax.scatter(data[y2, 0], data[y2, 1], data[y2, 2], c='g', s=30, marker='^', depthshade=True)
## 标签
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
## 标题
ax.set_title(u'原始数据', fontsize=16)

## 添加一个子图,设置为3d
ax = fig.add_subplot(122, projection='3d')
# 画点
ax.scatter(data[c1, 0], data[c1, 1], data[c1, 2], c='r', s=30, marker='o', depthshade=True)
ax.scatter(data[c2, 0], data[c2, 1], data[c2, 2], c='g', s=30, marker='^', depthshade=True)
# 设置标签
ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
# 设置标题
ax.set_title(u'EM算法分类', fontsize=16)

# 设置总标题
plt.suptitle(u'EM算法的实现,准备率:%.2f%%' % (acc * 100), fontsize=20)
plt.subplots_adjust(top=0.90)
plt.tight_layout()
plt.show()

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