GoogLeNet的心路历程(三)

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本文介绍关于GoogLeNet的续作,习惯称为inception v2,如下:

这篇文章做出的贡献不是一般的大,它提出了Batch Normalization(BN),以至于网上关于它的介绍铺天盖地,但中文优秀原创没几个,都是转载来转载去,挑几个好的比如:这个这个这个。我之前也写过一个谈谈Tensorflow的Batch Normalization,讲了讲BN在Tensorflow中的实现。

前人关于BN介绍的已经太详细了,我就不再重复的了。本文就是想讲一讲BN的反向传播,BN需要调节的参数有两个,γ 和 β,反向传播的计算方式就是下面这张图:


Batch Normalization反向传播

又是令人作呕的公式。

几乎所有介绍BN的文章都把这部分略过了,估计是怕讲不清楚,或者作者根本就不明白也不想深究。BN的理念很好理解,它的优良效果也很好理解,可BN的训练到底是怎么回事?怎么反向传播?Szegedy在论文原文里也只是一句话带过了:

During training we need to backpropagate the gradient of loss ℓ through this transformation, as well as compute the gradients with respect to the parameters of the BN transform. We use chain rule...

上面那一坨公式对于深度学习的老鸟们应该不会构成理解障碍,但对于接触不久的人群,简直就是天书!鉴于此,参考xiaiacs231n_2016_winter作业,捋一捋BN的反向传播到底是怎么实现的,好有个直观理解。

下面的介绍基于cs231n_2016_winter/assignment2的全连接网络,隐藏层5个,每个100个神经元(hidden_dims = [100, 100, 100, 100, 100]),激活函数ReLU,每个隐藏层激活函数前都加了BN层,输出层是softmax-10,optimizer是adam。

Batch Normalization反向传播实现

根据上面那一坨公式,写出来的代码是这样子的:

def batchnorm_backward(dout, cache):
  """
  Backward pass for batch normalization.
  
  For this implementation, you should write out a computation graph for
  batch normalization on paper and propagate gradients backward through
  intermediate nodes.
  
  Inputs:
  - dout: Upstream derivatives, of shape (N, D)
  - cache: Variable of intermediates from batchnorm_forward.
  
  Returns a tuple of:
  - dx: Gradient with respect to inputs x, of shape (N, D)
  - dgamma: Gradient with respect to scale parameter gamma, of shape (D,)
  - dbeta: Gradient with respect to shift parameter beta, of shape (D,)
  """
  dx, dgamma, dbeta = None, None, None
  
  x, gamma, beta, var, miu, x_hat, eps = cache
  m = len(x)
  dx_hat = dout * gamma
  dvar = np.sum(dx_hat * (x-miu), axis=0) * -0.5 * (var + eps) ** (-1.5)
  dmiu = np.sum(dx_hat * (-1) / np.sqrt(var+eps), axis=0) + dvar * np.mean(-2 * (x - miu), axis=0)
  dx = dx_hat / np.sqrt(var + eps) + dvar * 2 * (x - miu) / m + dmiu / m
  dgamma = np.sum(dout * x_hat, axis=0)
  dbeta = np.sum(dout, axis=0)
  
  return dx, dgamma, dbeta

Tensorflow的源码里应该也会有相应的实现,以后我再找找看。

上面的batchnorm_backward函数就是BN反向传播的python实现版本,仅仅是把公式改写成了python语言而已,这篇博文对代码做了一些解释,可以参考,这里不再赘述。

问题就来了,dout是个什么东西?作为函数的输入,它怎么来的?我再翻一翻源码,找到了这个函数:

def softmax_loss(x, y):
  """
  Computes the loss and gradient for softmax classification.

  Inputs:
  - x: Input data, of shape (N, C) where x[i, j] is the score for the jth class
    for the ith input.
  - y: Vector of labels, of shape (N,) where y[i] is the label for x[i] and
    0 <= y[i] < C

  Returns a tuple of:
  - loss: Scalar giving the loss
  - dx: Gradient of the loss with respect to x
  """
  probs = np.exp(x - np.max(x, axis=1, keepdims=True))
  probs /= np.sum(probs, axis=1, keepdims=True)
  N = x.shape[0]
  loss = -np.sum(np.log(probs[np.arange(N), y])) / N
  dx = probs.copy()
  dx[np.arange(N), y] -= 1
  dx /= N
  return loss, dx

softmax_loss用来计算最后softmax层的loss和gradient,函数返回两个值,一个是loss,一个是dx(gradient),这个dx就是dout的源头!也是反向传播的最最最开始的地方!它是这么得来的:

dx = probs.copy()
dx[np.arange(N), y] -= 1

注:其中probs是softmax的输出结果。

上面的程序代码是如此的简洁!让人完全蒙圈!逼得我重温了一下反向传播算法,输出层的残差是这么算的:

sigmoid输出层残差计算

代码里的f'(z)去哪儿了???或者这种计算方式是softmax独有?深深的感觉到了自己基础知识的薄弱。我又查阅了Neural Networks and Deep Learning,终于找到了,其中的公式 (84) 是 softmax 层的残差计算方法,如下:

softmax 残差计算

可是作者让读者自己推倒公式!又蒙圈了,有兴趣的可以自己推倒试一试。

简而言之,dx就是最后一层的gradient,这个dx要一层一层的反向传播回去,不同层的反向传播计算方式也不同,比如ReLU的反向传播计算是这样的:

def relu_backward(dout, cache):
  """
  Computes the backward pass for a layer of rectified linear units (ReLUs).

  Input:
  - dout: Upstream derivatives, of any shape
  - cache: Input x, of same shape as dout

  Returns:
  - dx: Gradient with respect to x
  """
  dx, x = None, cache

  dx = dout
  dx[x <= 0] = 0
  
  return dx

当然还有 dropout_backward、affine_backward(全连层) 还有上面的 batchnorm_backward 计算函数,不再一一列举。反向传播其实就是把gradient作为输入,按照前向传播相反的方向再计算一遍而已。

总的来讲,加入BN层的反向传播没有发生根本的改变,只是多了一个反向计算过程(batchnorm_backward函数)而已,上述网络的最后几层的前向和反向传播示意图如下:

正反传播

图也画了,代码也给了,公式还是没明白,不深究了。

总之,加入BN层的网络,反向传播的时候也相应的多了BN-back,其中的dgamma、dbeta会根据反向传播的gradient(或者叫残差)计算出来,再利用 optimizer 更新 γ 和 β。

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