1.二分查找和判定树：
二分查找过程可用二叉树来描述：把当前查找区间的中间位置上的结点作为根，左子表和右子表中的结点分别作为根的左子树和右子树。由此得到的二叉树，称为描述二分查找的判定树(Decision Tree)或比较树(Comparison Tree)。时间复杂度为O(logN)。
java实现代码：
public static int commonBinarySearch(int[] arr,int key){
int low = 0;
int high = arr.length - 1;
int middle = 0; //定义middle
if(key < arr[low] || key > arr[high] || low > high){
return -1;
}
while(low <= high){
middle = (low + high) / 2;
if(arr[middle] > key){
//比关键字大则关键字在左区域
high = middle - 1;
}else if(arr[middle] < key){
//比关键字小则关键字在右区域
low = middle + 1;
}else{
return middle;
}
}
return -1; //最后仍然没有找到，则返回-1
}
2.二叉树
2.1 特殊的二叉树
- 1.斜树：所有的结点都只有左子树（左斜树），或者只有右子树（右斜树）。
- 2.满二叉树：所有的分支结点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子结点都在同一层上，这样就是满二叉树
- 3.完全二叉树：对一棵具有n个结点的二叉树按层序排号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树编号为i结点在二叉树中位置完全相同，就是完全二叉树。
特点：
（1）叶子结点只能出现在最下一层（满二叉树继承而来）
（2）最下层叶子结点一定集中在左 部连续位置。
（2）倒数第二层，如有叶子节点，一定出现在右部连续位置。
（4）同样结点树的二叉树，完全二叉树的深度最小（满二叉树也是对的）。
image.png
2.2普通二叉树的性质
重点：对于任何一棵非空的二叉树,如果叶节点个数为n0，度数为2的节点个数为n2，则有: n0 = n2 + 1
2.3 二叉树遍历
二叉树的核心是把二维结构变成一维序列。
- 前序遍历基本思想：
1.先访问根结点
2.再先序遍历左子树
3.最后再先序遍历右子树
如上图：前序遍历的结果是：12457836
java实现的方式：
// 前序遍历的递归实现
public void preOrderTraverse(TreeNode node) {
if (node == null)
return;
// 先根节点
System.out.println(node.val);
// 再左孩子
preOrderTraverse(node.left);
// 后右孩子
preOrderTraverse(node.right);
}
-
中序遍历
1.先中序遍历左子树
2.然后再访问根结点
3.最后再中序遍历右子树
image.png
// 中序遍历的递归实现
public void midOrderTraverse(TreeNode node) {
if (node == null)
return;
// 先左孩子
midOrderTraverse(node.left);
// 再根节点
System.out.println(node.val);
// 后右孩子
midOrderTraverse(node.right);
}
-
后序遍历
1.先后序遍历左子树
2.然后再后序遍历右子树
3.最后再访问根结点
image.png
// 后序遍历的递归实现
public void endOrderTraverse(TreeNode node) {
if (node == null)
return;
// 先左孩子
endOrderTraverse(node.left);
// 再右孩子
endOrderTraverse(node.right);
// 后根节点
System.out.println(node.val);
}
2.3 平衡二叉树(AVL树)
2.3.1 定义
平衡二叉树(AVL树)是一种二叉排序树，其中每个结点的左子树和右子树的高度差至多等于1
2.3.2 二叉树平衡树插入。
插入分为四种情况：
（1） 在结点X的左孩子结点的左子树中插入元素
（2）在结点X的左孩子结点的右子树中插入元素
（3）在结点X的右孩子结点的左子树中插入元素
（4） 在结点X的右孩子结点的右子树中插入元素
参考文档:java数据结构与算法之平衡二叉树(AVL树)的设计与实现
3.Huffman树（最优二叉树）
3.2 Huffman树的定义：
Huffman树是一种特殊结构的二叉树，由Huffman树设计的二进制前缀编码。
要介绍Huffman树，首先我们需要知道什么是树的带权路径长度，它指的是所有叶子节点的带权路径长度之和。
有了如上的概念，对于Huffman树，其定义为：
给定n权值作为n个叶子节点，构造一棵二叉树，若这棵二叉树的带权路径长度达到最小，则称这样的二叉树为最优二叉树，也称为Huffman树。
3.2 Huffman树的构造：
假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个权值分别设为 w1、w2、…、wn，哈夫曼树的构造规则为：
- 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个结点)；
- 在森林中选出根结点的权值最小的两棵树进行合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；
- 从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；
- 重复(02)、(03)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树。
3.3 Huffman树Java实现：
public Huffman(int a[]) {
HuffmanNode parent = null;
MinHeap heap;
// 建立数组a对应的最小堆
heap = new MinHeap(a);
for(int i=0; i<a.length-1; i++) {
HuffmanNode left = heap.dumpFromMinimum(); // 最小节点是左孩子
HuffmanNode right = heap.dumpFromMinimum(); // 其次才是右孩子
// 新建parent节点，左右孩子分别是left/right；
// parent的大小是左右孩子之和
parent = new HuffmanNode(left.key+right.key, left, right, null);
left.parent = parent;
right.parent = parent;
// 将parent节点数据拷贝到"最小堆"中
heap.insert(parent);
}
mRoot = parent;
// 销毁最小堆
heap.destroy();
}
首先创建最小堆，然后进入for循环。
每次循环时：
(1) 首先，将最小堆中的最小节点拷贝一份并赋值给left，然后重塑最小堆(将最小节点和后面的节点交换位置，接着将"交换位置后的最小节点"之前的全部元素重新构造成最小堆)；
(2) 接着，再将最小堆中的最小节点拷贝一份并将其赋值right，然后再次重塑最小堆；
(3) 然后，新建节点parent，并将它作为left和right的父节点；
(4) 接着，将parent的数据复制给最小堆中的指定节点。
