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汉诺塔问题与递归

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周鶏
2016.12.22 14:38* 字数 1148

文章也同时在个人博客 http://kimihe.com/更新

汉诺塔问题(Hanoi Tower)

汉诺塔问题的描述就是有三根柱子,其中一根从上至下按照从小到大的顺序叠放着若干圆盘,我们的目标就是借助另外两根空柱子,把这一碟圆盘移到另外任意一根柱子上。在移动端过程中,编号较大的圆盘只能在较小的下面,而不能在上面。例如3可以在1,2的下面,但不能在1,2的上面。

解决汉诺塔问题的一个很好的思路就是利用递归,把n个圆盘移到另外一根柱子上需要先把底盘上方的n-1个圆盘进行移动,而移动这n-1个又需要先移动更上面的n-2个,如此循环至最开始的只有一个圆盘的情况。

上述思路的核心就是把一个复杂问题分解成若干较小的问题,而较小的问题的模型和大问题的相同,直到最后到达一个临界点,该临界点处问题的解决非常简单。这种把大问题不断分解成较小的子问题的思路与递归契合,而最终的临界点条件满足后,我们就能向上回溯,从最简单的情况到最复杂的情况,一层层地解决。

算法简述

  1. 首先,递归移动上方的n-1个圆盘到一根“合适”的柱子上
  2. 接着,移动底盘到另一根“合适”的柱子,简单的一步操作
  3. 最后,把这n-1个圆盘叠加在底盘上,与第一点的递归操作相同
算法伪代码如下:
hanoi(n) {
    if (n==0) {
        return;
    }
    
    if (n==1) {
        move(n);
        return;
    }
    
    hanoi(n-1);
    move(n);
    hanoi(n-1);
}

在实际编写过程中,我们更多地是需要考虑如何把每一步过程详细地表达出来,我们可以在move(n)函数中打印相关信息,即n号圆盘从from柱子移动到to柱子。

如果由人工操作,只要告诉我们应该移动哪个圆盘,按照大编号在下的规则,我们就很容易看出应该把这个圆盘移到哪个柱子上。因为n号圆盘在移动时,你不能放在含有比它小的圆盘的柱子上,只能放在另外一根上面,这一点很直观。

但是如果要把该过程打印出来,让机器来进行柱子的判断还是比较复杂的,因此我们最好把移动的起点,终点,中间暂存的柱子也加入递归函数中,即加入三根柱子的实时状态。于是伪代码就变成了如下:

void hanoi(n, from, to, tmp) {
    if (n == 0) {
        return;
    }
    
    if (n == 1) {
        moveBottom(n, from, to);
        return;
    }
    
    hanoi(n-1, from, tmp, to);
    moveBottom(n, from, to);
    hanoi(n-1, tmp, to, from);
}

临界点n=1时不需要临时存放的柱子,直接移到目标柱子即可。

整个问题的起点我们可以人工设定,如把A柱子上的一堆圆盘移到C柱子上,中间过程借助B柱子暂存,以此启动我们的“递归机器”。如下:

hanoi(diskNumber, 'A', 'C', 'B');

当然你也可以从A移到B,中间借助C,问题的模型是一样的。

总结

设定好初始状态和递归函数后,我们就能启动“递归机器”,当递归函数到达临界点,即只有一个盘子时,进行完最简单的移动操作后,整个过程开始回溯。递归借助的性质,我们能够安全保存每一次递归调用前的状态,一步步从简单返回最复杂的情况,抽丝剥茧地把大问题降维成小问题。

你想要数到100,你得先数99,数99得先数98,...,一直到最开始你得先数0。这也是一种递归的思路,后续步骤都可以同结构地依赖之前的步骤。

代码地址

代码示例可见https://github.com/kimihe/FUN_IN_CS/tree/master/HanoiTower

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