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碰撞出来的圆周率(一)

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安安以迁迁
2016.01.16 08:56* 字数 1165

想象地面上有一堵墙,墙的右边某处有一物体A,它的右边某处又有一物体B。假设地面无限长无限光滑,AB两物体都可视为质点,AB之间,以及它们和墙之间都作完全弹性碰撞。

先假设A和B的质量相同,A和B一开始都静止。我们朝左推一下B,让它有个初始速度。B运动一段时间后撞到A(第一次),由于动能守恒和动量守恒的缘故,B完全停止,而A以原先B的速度向左运动。A撞到墙(第二次)后以原速率向右弹回,运动后又撞到B(第三次)。接下去A完全停止,B向右一直运动。我们看到这样一共会发生3次碰撞。


M/m = 1

为什么是3次?如果说这是因为圆周率π的第一个数字是3,你会不会觉得这种关联太牵强?让我们继续看。

保持其他假设不变,只是现在B的质量是A的100倍。最初B运动一段时间后撞到A,这时因为B的质量大于A,B并不会完全停止,而是会继续向左以比原先稍慢的速率运动,而A则会以比B更快的速率向左运动,直到撞上墙向右弹回,然后又撞上B向左弹回。这时B向左运动的速率又慢了一点,而A的速率则变得更快。这样A在B和墙之间反复碰撞,直至把B推动至向右运动。然后A仍在B和墙之间碰撞,B向右的速率将逐次加快,而A的速率则会逐次减慢,直至最终A赶不上B而不再发生碰撞为止。在下图的模拟中我们看到,这样一共会发生31次碰撞。


M/m = 100

为什么是31次?如果说这是因为圆周率π去掉小数点后的前两个数字是3和1,你会不会觉得这纯属巧合?让我们继续看。

仍保持其他假设不变,只是现在B的质量是A的10000倍。下图模拟中的碰撞已变得看不清,但是通过计算,我们知道,一共会发生314次碰撞。


M/m = 10000

而假设B的质量是A的1000000倍,则会发生3141次碰撞;假设B的质量是A的100000000倍,则会发生31415次碰撞……总而言之,如果B的质量是A的102n倍,那么会发生的碰撞次数就是把圆周率π的小数点拿掉后前面n+1位数表示的数字。只要两个物体一堵墙,推上一下,我们就能计算圆周率π。这显然不能再用巧合来解释了。

当然,在现实情况下想用这种办法稍微精确地计算一下π也是不可能的。首先,“无限光滑”“完全弹性碰撞”的条件太理想化。而A和B的质量不可能相差太大:比如n=50时,B和A的质量比要达到10100,即便A的质量小如电子,B的质量也将超过目前可观察宇宙的总质量。就不要说在极其微小和巨大质量的条件下,必须考虑诸如分子热运动,万有引力,量子效应,相对论效应等等物理学家们俯拾皆是的抬杠理由。我们这里谈论的与其说是一个物理问题,毋宁说是一个数学问题,也就是仅考虑经典的牛顿三大运动定律图景下的数学结论。

1995年美国东伊利诺大学的数学家Gregory Galperin在做一次关于小球碰撞的数学报告前发现了上面这个有趣的结论。当他在报告中公布这个发现时,开始听众们都觉得难以置信。但在给出证明后,听众们又纷纷表示信服。后来Galperin在2003年为此写了一篇论文。后面我要介绍的,则是由斯坦福大学的Gary Antonick提出的另一种偏向于几何的证明方法,比较直观。

数学科普
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