补码杂谈

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刀斧手何在
0.9 2017.04.28 11:33* 字数 4508

本文从原码讲起。通过简述原码,反码和补码存在的作用,加深对补码的认识。力争让你对补码的概念不再局限于:负数的补码等于反码加一

接触过计算机或电子信息相关课程的同学,应该都或多或少看过补码这哥仨。每次都是在课本的最前几页,来上这么一段:什么反码是原码除符号位,按位取反。补码等于反码加一。然后给整得莫名其妙,稀里糊涂地,接着就是翻页,反正后面的内容也跟三码没多大关系。

我原来也是看了好几遍都没看懂。古人云:事不过三。学C语言的时候,看过一次。不懂?看《计算机基本组成原理》的时候看过,还是不懂!到了大三,上《单片微机原理与接口技术》的时候仍旧是不懂。到了期末,复习的时候,和宿舍的人瞎聊。说讲讲这些码呀,我说我也不是很清楚呀。然后就一边说怎么求码,一边算。玩着玩着,突然就明白了。我说好,打住。不说了,放假我在好好整理下思路,于是就有了这篇额。。算讨论帖吧。

好了,废话不多说。开始我们的原码,反码,补码之旅。

(一)预备知识

认识二进制,十六进制。会二进制与十进制的相互转化运算

由计算机的硬件决定,任何存储于计算机中的数据,其本质都是以二进制码存储。

根据冯~诺依曼提出的经典计算机体系结构框架。一台计算机由运算器,控制器,存储器,输入和输出设备组成。其中运算器,只有加法运算器,没有减法运算器(据说一开始是有的,后来由于减法器硬件开销太大,被废了 )

所以,计算机中的没法直接做减法的,它的减法是通过加法来实现的。你也许会说,现实世界中所有的减法也可以当成加法的,减去一个数,可以看作加上这个数的相反数。当然没错,但是前提是要先有负数的概念。这就为什么不得不引入一个该死的符号位。

而且从硬件的角度上看,只有正数加负数才算减法。
正数与正数相加,负数与负数相加,其实都可以通过加法器直接相加。

原码,反码,补码的产生过程,就是为了解决,计算机做减法和引入符号位(正号和负号)的问题。

本文可能比较长,没必要一下子读完。原码,反码,补码,按章读。
重点在于讲补码,到了补码可能有些绕,建议带着笔,写出二进制数一起算。

表达可能不够清楚严谨,望见谅。
(二)原码

原码:是最简单的机器数表示法。用最高位表示符号位,‘1’表示负号,‘0’表示正号。其他位存放该数的二进制的绝对值。

若以带符号位的四位二进值数为例

 1010  : 最高位为‘1’,表示这是一个负数,其他三位为‘010’,
      即(0*2^2)+(1*2^1)+(0*2^0)=2(‘^’表示幂运算符)
      所以1010表示十进制数(-2)。

下图给出部份正负数数的二进制原码表示法

OK,原码表示法很简单有没有,虽然出现了+0和-0,但是直观易懂。
于是,我们高兴的开始运算。

0001+0010=0011    (1+2=3)OK
0000+1000=1000    (+0+(-0)=-0) 额,问题不大
0001+1001=1010    (1+(-1)=-2)

噢,1+(-1)=-2,这仿佛是在逗我呢。

于是我们可以看到其实正数之间的加法通常是不会出错的,因为它就是一个很简单的二进制加法。

而正数与负数相加,或负数与负数相加,就要引起莫名其妙的结果,这都是该死的符号位引起的。0分为+0-0也是因他而起。

所以原码,虽然直观易懂,易于正值转换。但用来实现加减法的话,运算规则总归是太复杂。于是反码来了。

(三)反码

我们知道,原码最大的问题就在于一个数加上他的相反数不等于零。

例如:0001+1001=1010 (1+(-1)=-2) 0010+1010=1100 (2+(-2)=-4)

于是反码的设计思想就是冲着解决这一点,既然一个负数是一个正数的相反数,那我们干脆用一个正数按位取反来表示负数试试。

反码:正数的反码还是等于原码

负数的反码就是他的原码除符号位外,按位取反。

若以带符号位的四位二进制数为例:

3是正数,反码与原码相同,则可以表示为0011
-3的原码是1011,符号位保持不变,低三位(011)按位取反得(100)
所以-3的反码为1100

下图给出部分正负数的二进制数反码表示法

对着上图,我们再试着用反码的方式解决一下原码的问题

0001+1110=1111 (1+(-1)= - 0)

互为相反数相加等于0,解决。虽然是得到的结果是1111也就是-0

好,我们再试着做一下两个负数相加

1110(-1)+1101(-2)=1011(-4)

噢,好像又出现了新问题

(-1)+(-2)=(-4)?

不过好像问题不大,因为1011(是-4的反码,但是从原码来看,他其实是-3。巧合吗?)

我们再看个例子吧

1110(-1)+1100(-3)=1010(-5)

确实是巧合,看来相反数问题是解决了,但是却让两个负数相加的出错了。

但是实际上,两个负数相加出错其实问题不大。我们回头想想我们的目的是什么?是解决做减法的问题,把减法当成加法来算。

两个正数相加和两个负数相加,其实都是一个加法问题,只是有无符号位罢了。而正数+负数才是真正的减法问题。

也就是说只要正数+负数不会出错,那么就没问题了。负数加负数出错没关系的,负数的本质就是正数加上一个符号位而已。

在原码表示法中两个负数相加,其实在不溢出的情况下结果就只有符号位出错而已(1001+1010=0011)

反码的负数相加出错,其实问题不大。我们只需要加实现两个负数加法时,将两个负数反码包括符号位全部按位取反相加,然后再给他的符号位强行置‘1’就可以了。

所以反码表示法其实已经解决了减法的问题,他不仅不会像原码那样出现两个相反数相加不为零的情况,而且对于任意的一个正数加负数,如:
0001(1)+1101(-2)=1110(-1) 计算结果是正确的。所以反码与原码比较,最大的优点,就在于解决了减法的问题。

但是我们还是不满足为什么 0001+1110=1111 (1+(-1)=-0) 为什么是-0

而且虽然说两个负数相加问题不大,但是问题不大,也是问题呀。好吧,处女座。接下来就介绍我们的大boss补码

(四)补码

补码:正数的补码等于他的原码
负数的补码等于反码+1。
(这只是一种算补码的方式,多数书对于补码就是这句话)

在《计算机组成原理中》,补码的另外一种算法 是

负数的补码等于他的原码自低位向高位,尾数的第一个‘1’及其右边的‘0’保持不变,左边的各位按位取反,符号位不变。

OK,补码就讲完了。再见!!

还是莫名其妙有没有,为什么补码等于反码加1,为什么自低位向高位取反...................?

其实上面那两段话,都只是补码的求法,而不是补码的定义。很多人以为求补码就要先求反码,其实并不是。

那些鸡贼的计算机学家,并不会心血来潮的把反码+1就定义为补码。只不过是补码正好就等于反码加1罢了。

所以,忘记那些书上那句负数的补码等于它的反码+1。就这句话把我们带入了理解的误区。

这就是后来我明白为什么我看的那本《计算机组成原理》,要特意先讲补码,再讲反码。

然后说负数的补码等于他的原码自低位向高位,尾数的第一个‘1’及其右边的‘0’保持不变,左边的各位按位取反,符号位不变。

但是上面这句话,同样不是补码的定义,它只是补码的另外一种求法。它的存在,告诉我们忘记那句该死的‘反码+1’它并不是必须的。

如果你有兴趣了解,补码的严格说法,我建议你可以看一下《计算机组成原理》。它会用‘模’和‘同余’的概念,严谨地解释补码。

接下来我只想聊聊补码的思想。

(五)补码的思想

补码的思想,第一次见可能会觉得很绕,但是如果你肯停下来仔细想想,绝对会觉得非常美妙。

补码的思想其实就来自于生活,只是我们没注意到而已。时钟,经纬度,《易经》里的八卦。

补码的思想其实就类似于生活中的时钟

好吧,我其实不想用类似,好像这种词,因为类比的,终究不是事物本身。而且不严谨会让我怀疑我不是工科僧,说得好像我严谨过似的,哈哈

如果说现在时针现在停在10点钟,那么什么时候时针会停在八点钟呢?

简单,过去隔两个小时的时候,是八点钟。未来过十个小时的时候也是八点钟

也就是说时间正拨10小时,或是倒拨2小时都是八点钟。

也就是10-2=8,而且 10+10=8(10+10=10+2+8=12+8=8)

这个时候满12说明时针在走第二圈了,又走了8小时,所以时针正好又停在八点钟。

所以12在时钟运算中,称之为模,超过了12就会重新从1开始算了。

也就是说, 10-2和10+10从另一个角度来看是等效的,它都使时针指向了八点钟。

既然是等效的,那在时钟运算中,减去一个数,其实就相当于加上另外一个数(这个数与减数相加正好等于12,也称为同余数)

这就是补码所谓模运算思想的生活例子

在这里,我们再次强调原码,反码,补码的引入是为了解决做减法的问题。在原码,反码表示法中,我们把减法化为加法的思维是减去一个数,等于加上一个数的相反数,结果发现引入了符号位,却因为符号位造成了各种意向不到的问题。

但是从上面的例子中,我们可以看到其实减去一个数,对于数值有限制,有溢出的运算(模运算)来说,其实也相当于加上这个数的同余数。

也就是说,我们不引入负数的概念,就可以把减法当成加法来算。所以接下来我们聊4位二进制数的运算,也不必急于引入符号位。因为补码的思想,把减法当成加法时并不是必须要引入符号位的

而且我们可以通过下面的例子,也许能回答另一个问题,为什么负数的符号位是‘1’,而不是正数的符号位是‘1’。

(六)补码实例

好吧,接下来我们就做一做四位二进制数的减法吧(先不引入符号位)

0110(6)-0010(2)【6-2=4,但是由于计算机中没有减法器,我们没法算】

这个时候,我们想想时钟运算中,减去一个数,是可以等同于加上另外一个正数(同余数)

那么这个数是什么呢?从时钟运算中我们可以看出这个数与减数相加正好等于模。

那么四位二进制数的模是多少呢?也就是说四位二进制数最大容量是多少?其实就是2^4=16=10000B

那么2的同余数,就等于10000-0010=1110(14)

既然如此

0110(6)-0010(2)=0110(6)+1110(14)=10100(20=16+4)

OK,我们看到按照这种算法得出的结果是10100,但是对于四位二进制数,最大只能存放4位(硬件决定了),如果我们低四位,正好是0100(4),正好是我们想要的结果,至于最高位的‘1’,计算机会把他放入psw寄存器进位位中。8位机则会放在cy中,x86会放在cf中(这个我们不作讨论)

这个时候,我们再想想在四位二进制数中,减去2,就相当于加上它的同余数14(至于它们为什么同余,还是建议看《计算机组成原理》)

但是减去2,从另外一个角度来说,也是加上(-2)。即加上(-2)和加上14其实得到的二进制结果除了进位位,结果是一样的。

如果我们把1110(14)的最高位看作符号位后就是(-2)的补码,这可能也是为什么负数的符号位是‘1’而不是‘0’

而且在有符号位的四位二进制数中,能表示的只有‘-8~7’,而无符号位数(14)的作用和有符号数(-2)的作用效果其实是一样的。

那正数的补码呢?加上一个正数,加法器就直接可以实现。所以它的补码就还是它本身。

下图给出带符号位四位二进制的补码表示法

到这里,我们发现原码,反码的问题,补码基本解决了。

在补码中也不存在负零了,因为1000表示-8

这是因为根据上面的补码图,做减法时,0001(1)+1111(-1)=0000
我们再也不需要一个1000来表示负0了,就把它规定为-8

负数与负数相加的问题也解决了1111(-1)+1110(-2)=1101(-3)

可能说得有点绕,但是实在是没办法。其实我觉得补码还可以这样画。

很优美有没有,如果你想想地理课本,0不就相当于本初子午线,-8不就是180°,而正数相当于西经,负数相当于东经。

(七)为何这样求补码

然后我们再来看看为什么负数的补码的求法为什么是反码+1

因为负数的反码加上这个负数的绝对值正好等于1111,再加1,就是1000,也就是四位二进数的模

而负数的补码是它的绝对值的同余数,可以通过模减去负数的绝对值,得到他的补码。

所以 负数的补码就是它的反码+1。

有点绕吧,只能说很难算清楚,你们还是自己算算吧。还有上面我提到的另外一种算法。

接下来,我要说一下我自己算补码的小技巧。

看上面那个图。

如果我们把-8当成负数的原点。那么-5的补码是多少呢?

-5=-8+3

-5的补码就是-8的补码加3

1000(-8) +0011(3)=1011(-5)

所以完全可以口算出-5的补码是1011

当然,也可以记住-1的补码是1111口算减法得出

对于八位加法器的话,可以把-128当补码原点。十六位可以把-32768当补码原点。

是的,128256(八位二进制数的模)的一半,3276865536(十六位二进数的模)的一半

也很方便有没有,而且简单的是

补码原点总是最高位是‘1’,其他位是‘0’

所以做加法总是简单得可以口算。

OK,原码,反码,补码之旅就到这里结束。补码第一次看总会觉得很绕,想言简意赅,就怕哪里遗漏了。讲得细致,又不免连自己都觉得啰里啰嗦。谢观!


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