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我们昨天的内容算是一个铺垫，确立了评判计算机算法好坏的基础和标准。今天我们以计算机科学中最常见的算法——排序算法为例，说说提高效率的本质。

排序是我们在生活中经常会遇到的事情。在学校里老师会把一个年级的学生按照成绩排序，或者按照中学所在的地域排序；做电商的人，可能需要把所销售的各种商品按照收入或者交易量排序。排完序，我们有时就能看出很多规律，或者作进一步的处理了。比如，给学生排完序老师就可以评奖学金或者建议推研了，电商对销售根据一些选项排序后，就能改进自己的业务了。将现实世界的这些问题，变成计算机可以运行的程序，中间的桥梁就是排序算法。

计算机最早的排序算法源于人的生活和经验，这就如同最早的计算机下棋是模仿人，最早设计的飞行器是模仿鸟一样。那么我们人是怎么排序的呢？如果只有三五个数字，我们可以扫一眼就排完了序。但如果到几十个数字，这就有点麻烦了，因为如果没有一个必须严格遵守的流程，排完序经常会有些小错误。我在中学时还没有计算机，我们常常帮助老师统计同学们的期末考试成绩，发现把一个班上五十个人的成绩排序丝毫没有错误，并不容易。后来我们发现比较可靠的办法其实是下面两种笨办法：

方法一：第一次挑出成绩最高的同学，第二次挑出成绩次高的，如此重复，肯定能完成成绩的排序，一定不会错。

方法二：先将成绩单上第一个同学的名字和成绩写到旁边一张白纸的中央，如果第二个同学成绩比他高，就写到第一个同学的上方，如果比他低，就写到下方。等看到第三个同学的成绩后，根据他的成绩与前两个同学成绩的比较，插入到相应的位置。比如他的成绩正好在两个同学之间，就在旁边那张排序的纸上，把他的名字插入到前两个人之间。当然，那张排序的纸要留够空白，以方便插入后来同学的名字。

用这两种方法排50个人的成绩，工作量并不算小，比大家想象的大很多。是否有更好的排序方法，我和我高中的同学都没有想出来，其实也懒得想，因为我们所在的世界周围就那么些人，这两种笨办法够用了。

其实，早期的计算机科学家比我们也强不到哪里去，他们提出的排序算法就是上面两种。第一种算法被称为冒泡排序，因为每一次选出一个最好的，如同从水里冒出的气泡。第二种被称为插入排序，因为每一次要找到合适的位置插入。

接下来我们就用高德纳的思想，分析一下上述算法的复杂度。第一种算法很容易估算，50个人中找出最大的要比较49次，第二大的要比较48次，以此类推，大约是1200多次，是50的平方的一半左右。第二种算法的复杂度，也是和50的平方有关，这里就不再分析了。如果我们把50扩展到任意一个整数N，事实上使用上述排序的复杂度都是N平方左右。我们昨天讲到，在衡量计算机算法复杂度时，科学家们不关心几倍的差别，因此，在用数学公式表达复杂度的时候，高德纳干脆删除了前面的常数因子，只保留后面的变量，他用了微积分中的一个概念——大写的O的概念，所有同等复杂度的算法，都被认为它们在"大O的概念"下是相等的。比如，上述冒泡排序算法的复杂度是O（N平方），插入排序也是O（N平方），属于同一个量级。此外，早期的计算机科学家还想出了其他的排序算法，复杂度都和它们差不多，在一个量级。

接下来怎么提高计算机算法的效率呢？节省20%的计算量是没有意义的事情，就算省个三五倍也没有意义，要省就干脆多省一点，省它个成千上万倍甚至更多。于是，全世界所有的算法专家经过了十多年，终于发现从经验出发的排序速度慢的原因，就是做了无数的无用功。要提高效率，就需要让计算机少做事情。

以冒泡排序为例，之所以慢，是因为每一次选出一个最大的数，都要和其它所有的数字相比，其实并不需要这么麻烦，要想提高效率，就要减少数据之间的相互比较。最早对冒泡排序的改进是一种叫做归并排序的算法，它就利用了少做事情的思想，归并排序的思想大致如下：

首先，科学家们发现，如果我们把全班同学分成两组，分别排序，那么从每一组中挑选出一个最大的，就能省去一半的相互比较时间。于是他们就先将整个班级一分为二，先分别进行排序，再把两个排好序的组，合并成为一个有序的序列。相比排序，对有序的序列合并是很快的。归并排序这个词就是这么来的。这样做大约可以节省一半时间。当然，我们在前面也讲过，节省一半时间意义不大，但是别着急，因为对一个班级分出来的两个小组，排序时也可以采用上述技巧。

第二步，就是对两个组的排序。显然我们不应该再用冒泡排序。聪明一点的人马上会想到，既然能分成两组，就能把每个小组再分为两组，即分成四组，重复上面的算法，分别排序再合并。这样就能省3/4的时间。

再接下来，四组可以分为八组，能省7/8的时间，八组可以分为十六组，时间就不断省得越来越多。分到最后每个小组只剩下两个人的时候，其实就不用排序了，只要比较一次大小即可。

这种方法其实可以理解为两个过程，先是自顶向下细分，再自底向上合并。那么这种算法的复杂度等于多少呢？它相当于N乘以log（N），log（N）就是N的对数函数，大家不必在意N乘以log（N）是什么东西，只要记住它和N平方不一样，而且这个复杂度比前面的N平方小很多就行了。

为了便于你理解它小了多少，我们看看当N分别是100，1万，1百万，1亿时，两种算法的复杂度的情形：

第一种：即N平方，当N是100，1万，1百万，1亿时，它对应1万，1亿，1万亿，1亿亿。

第二种：即N乘以log（N），它对 应700，13万，2000万，23亿。

你可以看出N比较大了以后，N乘以log（N）比N平方要小很多，即23亿和1亿亿的差别，相差大约400万倍。400万是什么概念呢？大约是一支毛笔的长度和北京到上海距离的差别，或者是你和我两个人的重量和瓦良格号航空母舰重量的差别。

这样一对比，你就能感觉到为什么计算机的算法是如此重要。算法没有学好的人，写出来的程序经常是不合格的，因为很容易就浪费掉成千上万倍的计算机资源。大家不要觉得一个亿是什么了不得的大数字，且不说腾讯或者阿里巴巴这样公司的用户数早就超过了一个亿，即使你编写一款游戏，只要有人使用，几天下来的日志都有上亿行，对一亿个数排序，在计算机应用中是很常见的事情。

归并排序算法相比之前的算法为什么效率提高这么多？因为它少做了很多并不需要做的比较。很多人问我，你为什么效率这么高？并不是我效率高，而是做事情比大家少。效率＝产出／所做的事情。人的产出是很难提高的，但是所做的事情是可以减少的。

我一直强调工程师水平差一级，贡献可能就差出10倍，有人不服气，说会差这么大么？从上面的一个例子大家可以看出，可能差得还不止十倍。很多人问，我想改行搞计算机，自己找两本书看看是否就可以了？我的答案是不可以，在今天这样一个人多粥少，人的技能普遍高出行业基本要求的时代，进入任何一个行业，都要有点专业精神，把自己当作科班出身来要求。在农耕文明时代，没有力气的人最不济也能产生壮劳力1/3的生产力。在工业时代，靠手工一件件生产商品，可能效率能有机器的1%。但是到了智能时代，本事差一点，效果可能差几百万倍，几亿倍，专业和不专业就差得更远了。

为什么到了智能时代学习变得非常重要了呢？因为一些基本的方法和道理如果不学习，靠自己脑子苦思冥想可能需要十年甚至更多的时间，而学习加练习，可能只要一个月的时间就够了。早期的计算机科学家因为受限于自己的生活环境，也想不出好的排序方法，今天比较常用的排序算法"快速排序（Quicksort）"，是在计算机诞生后13年才出现的。这个算法，我下次花十分钟时间，就可以给大家讲清楚，大家可以自己判断，是应该学习，还是自己琢磨呢？

明天我们会谈谈快速排序，以及它背后的方法论。

今天的思考题是这样的：归并排序相比那些效率低的简单排序，其实还说明了一个道理，就是将一个复杂问题分解成很多简单的问题，一个个解决，最后比直接解决复杂问题要省很多时间。能否就这件事发表你的看法？

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