线性代数的本质与几何意义 02. 线性组合、张成的空间、基(3blue1brown 咪博士 图文注解版)

1. 线性组合

接下来我们要换一个角度来看向量。以二维平面直角坐标系为例,i, j 分别是沿 2 个坐标轴方向的单位向量。那么坐标平面上的其他向量,例如 [ 3 −2 ] 与 i, j 是什么关系呢?

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将向量 i 沿水平向右的方向拉升 3 倍,向量 j 沿竖直向下的方向拉升 2 倍

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这样,我们可以将向量 [ 3 −2 ] 看成是将向量 i, j 缩放后再相加的结果

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向量 i, j 称为基向量,其他向量都可以通过对基向量缩放再相加的方法构造出来。基向量缩放的倍数对应向量的各个分量,即向量对应的坐标。

我们可以通过选择不同的基向量来构造新的坐标系。例如,我们可以选择指向右上方的向量 v 和 指向右下方的向量 w 作为基向量。

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对这组新的基向量进行缩放再相加,同样也能构造出其他的向量

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一组基向量就对应一个坐标系,选择不同的基向量就构造出了不同的坐标系。同一个向量,在不同的坐标系下(即采用不同的基向量),其坐标值也要相应地发生变化。后面,咪博士会进一步谈到具体如何变换。

上面,反复出现 “将向量进行缩放再相加” 的操作,这样的操作,我们称之为 线性组合

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2. 向量张成的空间

在二维平面中,选取 2 个向量,然后考虑它们所有可能的线性组合,我们会得到什么呢?这取决于我们选择的 2 个向量。

通常情况下,我们会得到整个平面

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如果选择的 2 个向量,恰好共线的话,那它们的线性组合就被局限在一条过原点的直线上了

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最极端的情况是,选择的 2 个向量都是零向量,那么它们的线性组合就只可能是零向量了

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向量 v, w 的 全部线性组合 所构成的向量集合称为向量 v, w 所 张成的空间

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还记得前面的教程中,咪博士谈到数乘和加法是向量 2 个最基础的运算吗?当我们谈论向量所张成的空间时,我们实际上就是在问,仅仅通过数乘和加法 2 种基础运算,你能获得的所有可能的向量集合是什么。

在线性代数中,向量的起点始终固定在原点的位置,因此 向量的终点就唯一确定了向量本身。这样,我们便可以将向量看成是空间中的点(即向量的终点)

3. 线性相关、线性无关

将线性组合的想法扩展到 3 维空间中。想象 3 个 3 维向量,它们所张成的空间会是什么样的呢?这取决于我们选择的 3 个向量。

  • a. 通常情况下,我们会得到整个 3 维空间
  • b. 当选择的 3 个向量共面时,它们所张成的空间是一个过原点的平面
  • c. 当 3 个向量共线时,它们所张成的空间是一条过原点的直线
  • d. 当 3 个向量都是零向量时,它们所张成的空间只包含零向量

显然,在考虑向量所张成的空间时,有些向量是多余的。例如,情况 b ,确定一个平面只需要 2 个向量,而我们却用了 3 个向量,这意味着,有 1 个向量是多余的;情况 c,确定一条直线只需要 1 个向量就够了,而我们用了 3 个向量,其中有 2 个向量是多余的。数学上,我们用线性相关来描述这样的现象。

当我们说几个向量所构成的向量组线性相关时,意思是向量组中的(任意)一个向量都可以用向量组中其他向量的线性组合来表示出来。换句话讲,这个向量已经落在其他向量所张成的空间中,它对整个向量组张成的空间是没有贡献的,把它从向量组中拿掉,并不会影响向量组所张成的空间。

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线性无关指的是,向量组中的(任意)一个向量无法用向量组中其他向量的线性组合表示出来。换句话说,向量组中的每一个向量都为向量组所张成的空间贡献了一个维度,每一个向量都缺一不可,少了任何一个向量,都会改变向量组所张成的空间。

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4. 基的严格定义

最后,我们把本节相关的概念串起来,形成基的严格定义:

向量空间的一组 张成 该空间的一个 线性无关 向量集

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原文链接:http://www.ipaomi.com/2017/11/21/线性代数的本质与几何意义-02-线性组合、张成的空/

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