亚里士多德的“轮子悖论”

古希腊哲学家亚里士多德

■ 公元前322年3月7日,古希腊哲学家亚里士多德逝世。

在古希腊教科书《论力学》上有一个亚里士多德提出的“轮子悖论”,是一个几百年来让不少伟大的数学家们感到困惑的谜题。

它说的是在轮子上有两个同心圆。轮子滚动一周,从A点移动到B点,这时|AB|相当于大圆的周长。此时小圆也正好转动一周,并走过了长为|AB|的距离。

这不是表明小圆的周长也是|AB|吗?    

或者用一个动图来表示:    

关于这个问题的解释,人们达成的共识是小圆在滚动的同时还发生了滑动。可是这个解释并不直观。为此,伽利略曾通过对正多边形的分析对这个问题做出了进一步的解释。  


当大正方形滚动90°时,大正方形与直线 l 的接触点S没有改变,而小正方形中的P点却移动到了P’点的位置,也就是小正方形在滚动的同时的确发生了滑动。

通过对正方形运动情况的直观观察,可以推断,小圆在随中心与其固定在一起的大圆滚动的过程中发生了滑动。当然,以上还只是推断,严格证明参见参考文献1。同时可以证明:滑动的距离恰好等于两圆的周长差。

笔者认为这种证明方式依然不是很直观,但也无法提供更好的证明。读者如果有更直观的证明方法,欢迎留言。

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