问题描述：
问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列
注意：
并不要求子串（字符串一）的字符必须连续出现在字符串二中。
思路分析：
最优子结构和重叠子问题的性质都具有，所以要采取动态规划的算法
最长公共子序列的结构
设序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的一个最长公共子序列Z=<z1, z2, …, zk>，则：
1.若xm=yn，则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列；
2.若xm≠yn且zk≠xm ，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列；
3.若xm≠yn且zk≠yn ，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
其中Xm-1=<x1, x2, …, xm-1>，Yn-1=<y1, y2, …, yn-1>，Zk-1=<z1, z2, …, zk-1>。
子问题的递归结构
由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的最长公共子序列，可按以下方式递归地进行：当xm=yn时，找出Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的一个最长公共子序列。当xm≠yn时，必须解两个子问题，即找出Xm-1和Y的一个最长公共子序列及X和Yn-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。
由此递归结构容易看到最长公共子序列问题具有子问题重叠性质。
例如，在计算X和Y的最长公共子序列时，可能要计算出X和Yn-1及Xm-1和Y的最长公共子序列。而这两个子问题都包含一个公共子问题，即计算Xm-1和Yn-1的最长公共子序列。
与矩阵连乘积最优计算次序问题类似，我们来建立子问题的最优值的递归关系。用c[i,j]记录序列Xi和Yj的最长公共子序列的长度。其中Xi=<x1, x2, …, xi>，Yj=<y1, y2, …, yj>。
当i=0或j=0时，空序列是Xi和Yj的最长公共子序列，故c[i,j]=0。其他情况下，由定理可建立递归关系如下：
这里写图片描述
代码：
public class ComSubstr {
public static void main(String[] arg) {
String a = "blog.csdn.net";
String b = "csdn.blogt";
comSubstring(a, b);
}
private static void comSubstring(String str1, String str2) {
char[] a = str1.toCharArray();
char[] b = str2.toCharArray();
int a_length = a.length;
int b_length = b.length;
int[][] lcs = new int[a_length + 1][b_length + 1];
// 初始化数组
for (int i = 0; i <= b_length; i++) {
for (int j = 0; j <= a_length; j++) {
lcs[j][i] = 0;
}
}
for (int i = 1; i <= a_length; i++) {
for (int j = 1; j <= b_length; j++) {
if (a[i - 1] == b[j - 1]) {
lcs[i][j] = lcs[i - 1][j - 1] + 1;
}
if (a[i - 1] != b[j - 1]) {
lcs[i][j] = lcs[i][j - 1] > lcs[i - 1][j] ? lcs[i][j - 1]
: lcs[i - 1][j];
}
}
}
// 输出数组结果进行观察
for (int i = 0; i <= a_length; i++) {
for (int j = 0; j <= b_length; j++) {
System.out.print(lcs[i][j]+",");
}
System.out.println("");
}
// 由数组构造最小公共字符串
int max_length = lcs[a_length][b_length];
char[] comStr = new char[max_length];
int i =a_length, j =b_length;
while(max_length>0){
if(lcs[i][j]!=lcs[i-1][j-1]){
if(lcs[i-1][j]==lcs[i][j-1]){//两字符相等，为公共字符
comStr[max_length-1]=a[i-1];
max_length--;
i--;j--;
}else{//取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列
if(lcs[i-1][j]>lcs[i][j-1]){
i--;
}else{
j--;
}
}
}else{
i--;j--;
}
}
System.out.print("最长公共字符串是：");
System.out.print(comStr);
}
}
输出结果：
0,0,0,0,0,0,1,2,2,2,2,
0,0,0,0,0,0,1,2,3,3,3,
0,0,0,0,0,0,1,2,3,4,4,
0,0,0,0,0,1,1,2,3,4,4,
0,1,1,1,1,1,1,2,3,4,4,
0,1,2,2,2,2,2,2,3,4,4,
0,1,2,3,3,3,3,3,3,4,4,
0,1,2,3,4,4,4,4,4,4,4,
0,1,2,3,4,5,5,5,5,5,5,
0,1,2,3,4,5,5,5,5,5,5,
0,1,2,3,4,5,5,5,5,5,5,
0,1,2,3,4,5,5,5,5,5,6,
最长公共字符串是：csdn.t
