LED显示器的光谱

从颜色属性到光谱

在过往所学的渲染中，物体总有一个颜色属性，表示物体发出或者反射的是什么光，比如应用最广泛的冯氏着色模型。但是，现实世界中，物体表面的物理性质不是这样的，这就要涉及到一个概念：光谱。

光谱是物体表面发出或者反射的所有波长的电磁波的图谱。真实的物理情况是，当一束白光找到物体表面时，物体会反射对各个波长的光都反射，只是不同的波长反射力度不一样。比如下面这个是柠檬的表面光谱：

光谱是连续的，意味着它有无限的维度。计算机无法表示无限的光谱，所以要有一个功能把无限的维度降低到有限维度。PBRT使用Spectrum类来实现这功能。它的主要功能是，对输入的光谱数据进行采样，用波长和系数 $c_i$ 来表示特定波长的反射量，模拟连续的光谱。在PBRT中，Spectrum类可能是SampledSpectrum，或者RGBSpectrum。这两个类有一个共同的基类CoefficientSpectrum，用来提供算术运算。 SampledSpectrum类和RGBSpectrum类的最重要的函数是FromSampled，用来从外部接收数据，计算系数 $c_i$ 。

辐射学

接着进入辐射学的内容。这是比光谱更底层的基础物理知识。光也是一种电磁波，而所有的物体都会一直进行电磁辐射，就是向外不断发出不同波长的电磁波。比如电影中经常看到的用红外望远镜可以在晚上还看到人。电磁辐射，伴随着发出能量，发出的总能量和发射面积以及持续时间有密切的关系。辐射学就是研究这些关系，然后运用一些物理定律，计算表面上某个点能接收到的能量，从而显示颜色。最重要的性质有两个，一个是线性性质，就是两种光叠加上去总亮度就是相加。另一个是能量守恒。接收到的光照能量值要大于等于反射出的能量值，因为可能会有一部分被吸收。

接着，我们进入辐射学基本物理量的学习。

辐射能量Q

辐射能量Q，表示一定时间内，表面的一定区域所接收（或者发出，或者透过）的所有能量总和。

我们的物理量如果不加下标，表示的就是接收、发出、或者透过。要区分的话，会专门用下标表示，比如 $Q_i$ 表示接收的能量值。下面再介绍物理量的时候就省略括号中的内容了。

辐射通量 $\Phi$

辐射通量（radiant flux， $\Phi$ ），表示单位时间内，表面的特定区域接收到的能量和。计算的公式是： $\Phi=\frac{dQ}{dt}$

辐射照度E

辐射照度（irradiance, E)，表示某个点（微面元）接受来自各个方向的辐射通量大小。计算公式是： $E=\frac{d\Phi}{dA}$ 。注意，这里的单位面积其实是微面元的概念，就是某一个点附近很小很小的一块区域，其实就跟点差不多，可以理解成比点稍微大一点的一个圆或者正方形。但是在表示这个微面元的时候，就是用点的位置来表示。知道E之后可以反推 $\Phi$ 的大小，利用下面这个积分公式： $\Phi=\int_{S}EdA$

辐射强度I

辐射强度（radiant intensity, I），表示某块区域，接受来自某个方向的辐射通量大小。I和E的区别是，E是对面积进行微分，I是对方向进行微分。其计算公式是： $I=\frac{d\Phi}{d\omega}$ ，其中， $\omega$ 就是立体角。

立体角

立体角的概念是这样的，在空间中有一个闭合曲线构成的曲面，然后空间中还有一点P。画闭合曲线和点P的直线，在以点P为中心的单位球上，曲面映射到单位球上的面积就是曲面关于点P的立体角（或者叫球面度），立体角的计算公式是： $\omega=\frac{S}{R^2}$ ，其中S是投影面积，R是球半径。当我们使用单位球的时候，立体角就是面积。为了方便表述，给立体角一个单位sr，单位名称是球面度。

立体角

辐射亮度L

辐射亮度（radiance, L），表示来自某个方向（立体角）的辐射通量，照射到表面上的一个点（微面元）投影到该方向垂直平面上的辐射通量大小。如下图所示：

辐射亮度L

计算公式是：

注意，书上关于L的公式是错的！

按照辐射亮度的定义，这必然是一个二重微分，对方向和面积的双重微分。这个 $\cos\theta$ 的值是从哪来的？ $\theta$ 表示表面法线和方向 $\omega$ 的夹角，换个角度思考就是微面元dA投射到与 $\omega$ 垂直方向的表面的面积。L是一个非常重要的概念，有了L之后，我们可以很方便地计算出I和E。公式如下：
$\begin{cases} L=\frac{d}{d\omega\cos\theta}(\frac{d\Phi}{dA})=\frac{dE}{d\omega\cos\theta}\\ L=\frac{d}{dA\cos\theta}(\frac{d\Phi}{d\omega})=\frac{dI}{dA\cos\theta} \end{cases}$
$\begin{cases} E = \int_{\Omega}L\cos\theta d\omega \\ I=\int_{S}L\cos\theta dA \end{cases}$
完美。

关于L的计算实例

假设我们要求整个半球的辐射照度E，如上图所示：使用球坐标系来计算，值表示与z轴正方向的夹角，表示与x轴正方向的夹角。我们用的公式是，关键在于如何表示立体角。

还记得吗？立体角是单位球的面积，我们直接对半球的面积积分就好了。方法是这样：

首先，在球坐标系中表示一个点是 $(r,\theta,\phi)$ ，r是球半径， $\theta$ 是与z轴正方向的夹角， $\phi$ 是与x轴正方向的夹角。 $\theta$ 的范围是 $(0,\pi)$ ， $\phi$ 的范围是 $(0,2\pi)$ 。所以，当要求半球的辐射照度E时，对 $\theta$ 的积分区域是 $(0,\frac{\pi}{2})$ ，而 $\phi$ 的积分区域是 $(0,2\pi)$ 。

对立体角微元来说，因为立体角本身就是面积，所以我们只要表示一个微面元就可以了，我们采用长方形的表示方式，这样可以铺满整个半球，并且其面积计算公式简单。在微面元的情况下，有一点弯曲的长方形曲面和没有弯曲的长方形的面积是一样的，所以，微面元的面积可以表示成： $d\omega=\sin\theta d\theta d\phi$ ，正如上面的图所显示的那样。

$d\theta$ 和 $d\phi$ 是角度的微元增量，为什么还有 $\sin$ 呢？因为当 $\phi$ 增加了一定值后，它所对应的弧长增加值是角度乘以半径。而 $(\theta,\phi)$ 点所对应的半径是图中的 $\sin\theta$ 。于是，半球的辐射照度E是：
$E=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}L\cos\theta\sin\theta d\theta d\phi$

上述的公式就是半球辐射照度，弄懂了之后感觉非常简单。

反射模型

BRDF

BRDF全称bidirectional reflectance distribution function，中文翻译成双向反射分布函数。描述的是表面上某一点（微面元），接收到入射光线与该点反射光线之间的相互关系。

为了区分反射和入射，与入射相关的物理量会加小标i，与反射相关的物理量会加小标o。用 $L_i$ 表示入射亮度，用 $L_o$ 表示反射亮度。还是从这个公式开始推理：
$E_i = \int_{\Omega}L_i\cos\theta_i d\omega_i$

两边取微分可以得到 $dE_i = L_i\cos\theta_i d\omega_i$ ，表示某个方向的照度值。而根据能量守恒定律我们知道，反射的亮度 $L_o$ 不可能超过入射亮度。根据线性性质还可以知道它和入射亮度之间还有比例关系，入射亮度越大，反射亮度越大，即： $dL_o\propto dE_i$ 。于是，我们可以列出这样一个式子：
$f_r=\frac{dL_o}{dE_i}$
即：反射亮度与入射亮度有一定比例关系。

将这个式子代入到之前的式子中得到
$dL_o=f_r L_i\cos\theta_i d\omega_i$
于是 $L_o$ 的值就是：
$L_o=\int_{\Omega}f_rL_i\cos\theta_i d\omega_i$
这是PBR计算的基本公式之一。

BSSRDF

BSSRDF，全称是bidirectional scattering surface reflectance distribution function，中文翻译成双向散射表面反射分布函数。它是比BRDF模型更贴近现实的计算模型现实中，我们的表面总是会有一定的深度，当光从一面进入的时候，在里面不断反射，然后从另一个地方出来，才是更真实的物理模型。

BSSRDF模型

由于散射的存在，某一个点的反射亮度是和整个表面所接收到的通量挂钩的。整个表面接收的的通量就是 $\Phi$ ，于是，表面上一点的反射亮度与通量的关系是： $S=\frac{dL_o}{d\Phi}$
展开可得 $L_o$ 的完整计算公式：
$L_o=\int_{A}\int_{\Omega}SL_i\cos\theta_i d\omega_i dA$

要说复杂也复杂，说简单也简单，理解了就好。

总结

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参考资料：
Physically Based Rendering
pbrt源码，版本3
Introduction to Radiometry and Photometry

【PBRT】《基于物理的渲染：从理论到实践》之辐射学

【PBRT】《基于物理的渲染：从理论到实践》之辐射学

从颜色属性到光谱

辐射学

辐射能量Q

辐射通量 $\Phi$

辐射照度E

辐射强度I

立体角

辐射亮度L

关于L的计算实例

反射模型

BRDF

BSSRDF

总结