numpy 对数组的操作效率
NumPy数组上的计算可能非常快，也可能非常慢。快速实现的关键是使用矢量化操作，通常通过NumPy的通用函数（ufuncs）实现。
慢循环
Python的默认实现（CPython）执行某些操作的速度非常慢。这是由于语言的动态，解释性所致：
类型具有灵活性，因此无法像C和Fortran这样的语言将操作序列编译成有效的机器代码。最近，人们进行了各种尝试来解决这一弱点：著名的例子是PyPy项目，
它是Python的实时编译实现。 Cython项目，该项目将Python代码转换为可编译的C代码；还有Numba项目，该项目将Python代码段转换为快速LLVM字节码。
每种方法都有其优点和缺点，但是可以肯定地说，这三种方法都没有超越标准CPython引擎的范围和普及性。
- Python的相对呆板缓慢的操作，通常可以体现在一些重复的小操作中，下面展示
In [1]: import numpy as np
In [2]: np.random.seed(0)
In [3]: def compute_rec(values):
...: output=np.empty(len(values))
...: for i in range(len(values)):
...: output[i]=1.0/values[i]
...: return output
...:
In [4]: values = np.random.randint(1, 10, size=5)
In [5]: compute_rec(values)
Out[5]: array([0.16666667, 1. , 0.25 , 0.25 , 0.125 ])
# 小数组可以看到耗时很小只有12.2 µs左右
In [6]: %timeit compute_rec(values)
12.2 µs ± 198 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000 loops each)
# 这里我们创建一个大数组来看下
In [7]: big_arr = np.random.randint(1, 100, size=1000000)
# 当随着数组变大竟然耗时2.52 s左右，这相对其他静态语言实在太慢了
In [8]: %timeit compute_rec(big_arr)
2.52 s ± 235 ms per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1 loop each)
计算这百万个操作并存储结果需要几秒钟！甚至现在的手机的处理速度都以Giga-FLOPS衡量时（即每秒数十亿次数字运算）。
不过事实证明，这里的瓶颈不是操操作系统作本身，而是CPython在循环的每个循环中必须执行的类型检查和函数分派。
每次计算倒数时，Python都会首先检查对象的类型，并动态查找要用于该类型的正确函数。如果我们使用的是已编译的代码（静态语言的优势），则在代码执行之前便会知道此类型规范，并且可以更有效地计算结果。
那我们有什么办法可以再这种情况下提高执行效率吗？ 当然，这里我们就用到了numpy的Ufuncs 操作
Ufunc
对于许多类型的操作，NumPy仅为此类静态类型的已编译例程提供了方便的接口。这称为向量化操作。这可以通过简单地对数组执行操作来实现，然后将其应用于每个元素。这种矢量化方法旨在将循环推入NumPy底层的编译层，从而大大提高了执行速度。
比较下面两种操作：
In [9]: compute_rec(values)
Out[9]: array([0.16666667, 1. , 0.25 , 0.25 , 0.125 ])
In [10]: 1.0/values
Out[10]: array([0.16666667, 1. , 0.25 , 0.25 , 0.125 ])
···
说明可以直接除法操作可以直接作用再数组上，那我们再比较下对大数组操作的耗时时间
```py
In [15]: %timeit (1.0 / big_arr)
5.25 ms ± 129 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)
- 执行时间几乎降低了三个数量级
NumPy中的矢量化操作是通过ufunc实现的，其主要目的是对NumPy数组中的值快速执行重复的操作。 Ufunc非常灵活–在我们看到标量和数组之间的操作之前.我们也可以在两个数组之间进行操作：
In [18]: np.arange(5) / np.arange(1,6)
# 每个对应的元素想除，要保证两个数组size保持一致
Out[18]: array([0. , 0.5 , 0.66666667, 0.75 , 0.8 ])
而且ufunc操作不仅限于一维数组-它们还可以作用于多维数组：
In [26]: x = np.arange(9).reshape((3, 3))
...: 2 ** x
Out[26]:
array([[ 1, 2, 4],
[ 8, 16, 32],
[ 64, 128, 256]], dtype=int32)
通过ufunc使用矢量化的计算几乎总是比使用Python循环实现的计算效率更高，尤其是随着数组大小的增加。每当在Python脚本中看到这样的循环时，都应该考虑是否可以将其替换为向量化表达式。
Ufuncs 更多应用
Ufunc有两种形式：一元ufunc（在单个输入上运行）和二元ufunc（在两个输入上运行）。我们将在这里看到这两种功能的示例。
数组算术
NumPy的ufunc使用起来非常自然，因为它们利用了Python的本机算术运算符。可以使用标准的加，减，乘和除法：
In [27]: x = np.arange(4)
...: print("x =", x)
...: print("x + 5 =", x + 5)
...: print("x - 5 =", x - 5)
...: print("x * 2 =", x * 2)
...: print("x / 2 =", x / 2)
...: print("x // 2 =", x // 2) # floor division
x = [0 1 2 3]
x + 5 = [5 6 7 8]
x - 5 = [-5 -4 -3 -2]
x * 2 = [0 2 4 6]
x / 2 = [0. 0.5 1. 1.5]
x // 2 = [0 0 1 1]
我们甚至可以将数组当作变量参与运算
In [30]: (x+2)*3
Out[30]: array([ 6, 9, 12, 15])
这些便捷的操作符很多都时依赖相应的方法，如下
In [31]: x+2
Out[31]: array([2, 3, 4, 5])
In [32]: np.add(x,2)
Out[32]: array([2, 3, 4, 5])
下面时numpy的操作符对应的方法
+ np.add Addition (e.g., 1 + 1 = 2)
- np.subtract Subtraction (e.g., 3 - 2 = 1)
- np.negative Unary negation (e.g., -2)
* np.multiply Multiplication (e.g., 2 * 3 = 6)
/ np.divide Division (e.g., 3 / 2 = 1.5)
// np.floor_divide Floor division (e.g., 3 // 2 = 1)
** np.power Exponentiation (e.g., 2 ** 3 = 8)
% np.mod Modulus/remainder (e.g., 9 % 4 = 1)
绝对值
In [33]: x = np.array([-2, -1, 0, 1, 2])
...: abs(x)
Out[33]: array([2, 1, 0, 1, 2])
- 这里的abs就是np.absolute的别名，也可以使用np.absolute(x)或者np.abs(x)
当数组为复数时，绝对值则取的时复数的模（大小）
In [36]: np.abs(x)
Out[36]: array([2.23606798, 3.60555128, 6.70820393])
三角函数
NumPy提供了大量有用的函数，三角函数是对数据科学家最有用的一些函数。我们将从定义一个角度数组开始：
从0-pi 截取三个点
In [45]: theta = np.linspace(0, np.pi, 3)
In [46]: theta
Out[46]: array([0. , 1.57079633, 3.14159265])
# 计算 o pi/2 和 pi 的sin cos tan 值
In [47]: print("sin(theta) = ", np.sin(theta))
...: print("cos(theta) = ", np.cos(theta))
...: print("tan(theta) = ", np.tan(theta))
sin(theta) = [0.0000000e+00 1.0000000e+00 1.2246468e-16]
cos(theta) = [ 1.000000e+00 6.123234e-17 -1.000000e+00]
tan(theta) = [ 0.00000000e+00 1.63312394e+16 -1.22464680e-16]
同样也可以计算反三角函数 np.arcsin(x) np.arccos(x) np.arctan(x)
指数和对数
In [49]: x = [1, 2, 3]
...: print("x =", x)
...: print("e^x =", np.exp(x))
...: print("2^x =", np.exp2(x))
...: print("3^x =", np.power(3, x))
x = [1, 2, 3]
e^x = [ 2.71828183 7.3890561 20.08553692]
2^x = [2. 4. 8.]
3^x = [ 3 9 27]
## 对数函数
In [52]: x = [1, 2, 4, 10]
...: print("x =", x)
...: print("ln(x) =", np.log(x))
...: print("log2(x) =", np.log2(x))
...: print("log10(x) =", np.log10(x))
x = [1, 2, 4, 10]
ln(x) = [0. 0.69314718 1.38629436 2.30258509]
log2(x) = [0. 1. 2. 3.32192809]
log10(x) = [0. 0.30103 0.60205999 1. ]
# 当输入的x 数值很小时，下面特殊的方法可以提供更精确的结果
In [53]: x = [0, 0.001, 0.01, 0.1]
...: print("exp(x) - 1 =", np.expm1(x))
...: print("log(1 + x) =", np.log1p(x))
exp(x) - 1 = [0. 0.0010005 0.01005017 0.10517092]
log(1 + x) = [0. 0.0009995 0.00995033 0.09531018]
特别用处的ufuncs
NumPy具有更多可用的ufunc，包括双曲三角函数，按位算术等等。通过查看NumPy文档，可以发现很多功能。
子模块scipy.special是另一个更专业和晦涩的功能。如果要在数据上计算一些晦涩的数学函数，可在scipy.special中实现它。有太多函数无法列出所有功能，但以下代码片段显示了可能在统计上下文中出现的几个功能：
##伽玛函数（广义阶乘）和相关函数
In [56]: x = [1, 3, 4]
...: print("gamma(x) =", special.gamma(x))
...: print("ln|gamma(x)| =", special.gammaln(x))
...: print("beta(x, 2) =", special.beta(x, 2))
gamma(x) = [1. 2. 6.]
ln|gamma(x)| = [0. 0.69314718 1.79175947]
beta(x, 2) = [0.5 0.08333333 0.05 ]
＃误差函数（高斯积分）
＃它的补数及其反数
In [58]: x = np.array([0, 0.3, 0.7, 1.0])
...: print("erf(x) =", special.erf(x))
...: print("erfc(x) =", special.erfc(x))
...: print("erfinv(x) =", special.erfinv(x))
erf(x) = [0. 0.32862676 0.67780119 0.84270079]
erfc(x) = [1. 0.67137324 0.32219881 0.15729921]
erfinv(x) = [0. 0.27246271 0.73286908 inf]
- NumPy和scipy.special中都有很多可用的ufunc,可以查阅官方文档
其他Ufunc功能
指定输出
# x数组乘以2 输出到y数组，此时x数组还是原来的值
In [61]: x = np.arange(4)
...: y = np.empty(4)
...: np.multiply(x, 2, out=y)
...: print(y)
[0. 2. 4. 6.]
In [85]: x = np.arange(5)
# 输出本身
In [86]: y = np.zeros(10)
...: np.power(2, x, out=y[::2])
Out[86]: array([ 1., 2., 4., 8., 16.])
如果我们改为写y [:: 2] 改成 2 ** x，这将导致创建一个临时数组来保存2 ** x的结果，然后执行第二次操作，将这些值复制到y数组中。对于这么小的计算，这并没有太大的区别，但是对于非常大的数组，谨慎使用out参数可以节省大量内存。
聚合
对于二进制ufunc，可以直接从对象中计算出一些有趣的聚合。例如，如果我们想通过特定操作来简化数组，则可以使用任何ufunc的reduce方法。将给定操作，重复应用于数组元素，直到仅保留单个结果为止。如下在add ufunc上调用reduce会返回数组中所有元素的总和
# 相加聚合
In [98]: x = np.arange(5)
...: np.add.reduce(x)
Out[98]: 10
# 也可以相乘聚合
In [100]: x = np.arange(1,5)
...: np.multiply.reduce(x)
Out[100]: 24
# 也可以保留执行的中间过程
In [101]: np.add.accumulate(x)
Out[101]: array([ 1, 3, 6, 10], dtype=int32)
In [102]: np.multiply.accumulate(x)
Out[102]: array([ 1, 2, 6, 24], dtype=int32)
- 注意，对于这些特殊情况，有专用的NumPy函数来计算结果（np.sum，np.prod，np.cumsum，np.cumprod），可在聚合中进行探讨：最小值，最大值和介于两者之间的所有值。
外部的方法
任何ufunc都可以使用外部方法来计算两个不同输入的所有对的输出。这样一来，就可以执行创建乘法表之类的操作：
# 相当于矩阵相乘（1，2，3，4，5）*（1，2，3，4，5）
In [103]: x = np.arange(1, 6)
...: np.multiply.outer(x, x)
Out[103]:
array([[ 1, 2, 3, 4, 5],
[ 2, 4, 6, 8, 10],
[ 3, 6, 9, 12, 15],
[ 4, 8, 12, 16, 20],
[ 5, 10, 15, 20, 25]])
ufuncs的另一个极其有用的功能是能够在不同大小和形状的数组之间进行操作的能力，这是一组称为广播的操作。下一节讨论
