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算法练习(43): 约瑟夫问题(1.3.37)

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算法之路
2017.11.17 23:44* 字数 894

本系列博客习题来自《算法(第四版)》,算是本人的读书笔记,如果有人在读这本书的,欢迎大家多多交流。为了方便讨论,本人新建了一个微信群(算法交流),想要加入的,请添加我的微信号:zhujinhui207407 谢谢。另外,本人的个人博客 http://www.kyson.cn 也在不停的更新中,欢迎一起讨论

算法(第4版)

知识点

  • 约瑟夫问题

题目

1.3.37 Josephus 问题。在这个古老的问题中,N 个身陷绝境的人一致同意通过以下方式减少生存人数。他们围坐成一圈(位置记作 0 到 N-1)并从第一个人开始报数,报到 M 的人会被杀死,直到最后一个人留下来。传说中 Josephus 找到了不会被杀死的位置。编写一个 Queue 的用例 Josephus,从命令行接受 N 和 M 并打印出人们被杀死的顺序(这也将显示 Josephus 在圈中的位置)。


1.3.37 Josephus problem. In the Josephus problem from antiquity, N people are in dire straits and agree to the following strategy to reduce the population. They arrange them- selves in a circle (at positions numbered from 0 to N–1) and proceed around the circle, eliminating every Mth person until only one person is left. Legend has it that Josephus figured out where to sit to avoid being eliminated. Write a Queue client Josephus that takes N and M from the command line and prints out the order in which people are eliminated (and thus would show Josephus where to sit in the circle).

% java Josephus 7 2 
1 3 5 0 4 2 6

分析

约瑟夫问题(有时也称为约瑟夫斯置换,是一个出现在计算机科学和数学中的问题。在计算机编程的算法中,类似问题又称为约瑟夫环。又称“丢手绢问题”.)
据说著名犹太历史学家 Josephus有过以下的故事:在罗马人占领乔塔帕特后,39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中,39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到,于是决定了一个自杀方式,41个人排成一个圆圈,由第1个人开始报数,每报数到第3人该人就必须自杀,然后再由下一个重新报数,直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从。首先从一个人开始,越过k-2个人(因为第一个人已经被越过),并杀掉第k个人。接着,再越过k-1个人,并杀掉第k个人。这个过程沿着圆圈一直进行,直到最终只剩下一个人留下,这个人就可以继续活着。问题是,给定了和,一开始要站在什么地方才能避免被处决?Josephus要他的朋友先假装遵从,他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置,于是逃过了这场死亡游戏。

分析

使用数学归纳法,总结出递推公式

f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)

答案

public class Josephus {

    public static void main(String[] args) {

        int m = 3;
        int N = 41;

        Queue<Integer> queue = new Queue<Integer>();
        for (int i = 0; i < N; i++)
            queue.enqueue(i);

        while (!queue.isEmpty()) {
            for (int i = 0; i < m - 1; i++)
                queue.enqueue(queue.dequeue());
            StdOut.print(queue.dequeue() + " ");
        }
        
        StdOut.println();
    }
}

打印的结果为:
2 5 8 11 14 17 20 23 26 29 32 35 38 0 4 9 13 18 22 27 31 36 40 6 12 19 25 33 39 7 16 28 37 10 24 1 21 3 34 15 30
因此,第31个人是最后一个被杀死的,第16个人是倒数第二个被杀死的

代码索引

Josephus.java

视频讲解

日记本
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