算法

二分查找的总结


普通的二分查找

最普通的写法:

  • 范围在[L,R]闭区间中,L = 0R = arr.length - 1
  • 注意循环条件为 L <= R ,而不是L < R
image.png
    static int bs1(int[] arr,int key){
        int L = 0,R = arr.length - 1; //在[L,R]范围内寻找key
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] == key)
                return mid;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid - 1;// key 在 [L,mid-1]内
            else
                L = mid + 1;
        }
        return -1;
    }

普通二分查找的另一种写法

首先说明,这个和上面的二分查找是完全一样的,只不过我们定义的区间不同而已:

  • 上面的二分查找是在[L,R]的闭区间中查找,而这个二分查找是在[L,R<font color =red>)</font>的左闭右开区间查找;

  • 所以<font color =red>此时的循环条件是L < R ,因为R本来是一个不可到达的地方,我们定义为了开区间,所以R是一个不会考虑的数,所以我们循环条件是L < R

  • 同理,当arr[mid] > key的时候,不是R = mid - 1,因为我们定义的是开区间,所以R = mid ,因为不会考虑arr[mid]这个数;

    //和上面的完全一样,只是一开始R不是arr.length-1 而是arr.length
    static int bs2(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length; //注意这里R = arr.length 所以在[L,R)开区间中找
        int mid;
        while( L < R){ //注意这里 不是 L <= R
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] == key)
                return mid;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid; // 在[L,mid)中找
            else
                L = mid + 1;
        }
        return -1;
    }

上面的两种方式一般还是第一种方式用的多一点。


第一个=key的,不存在返回-1

这个和之前的不同是:

  • 数组中可能有重复的key,我们要找的是第一个key的位置;

  • 和普通二分查找法不同的是在我们要R = mid - 1前的判断条件不是arr[mid] > key,而是arr[mid] >= key

  • 为什么是上面那样,其实直观上理解,我们要找的是第一个,那我们去左边找的时候不仅仅arr[mid] > key就去左边找,等于我也要去找,因为我要最左边的等于的;

  • 最后我们要判断L是否越界(L 有可能等于arr.length),而且最后arr[L]是否等于要找的key

  • 如果arr[L]不等于key,说明没有这个元素,返回-1

举个例子:

image.png
    /**查找第一个与key相等的元素的下标, 如果不存在返回-1 */
    static int firstEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1; //在[L,R]查找第一个>=key的
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] >= key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        if(L < arr.length && arr[L] == key)
            return L;
        return -1;
    }


第一个>=key

这个和上面那个寻找第一个等于key的唯一的区别就是:

  • 最后我们不需要判断(L < arr.length && arr[L] == key),因为如果不存在key的话,我们返回第一个> key的元素即可;

  • 注意这里没有判断越界(L < arr.length),因为如果整个数组都比key要小,就会返回arr.length的大小;

    /**查找第一个大于等于key的元素的下标*/
    static int firstLargeEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] >= key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        return L;
    }

第一个>key

这个和上两个的不同在于:

  • <font color = red>if(arr[mid] >= key)改成了if(arr[mid] > key)</font>,因为我们不是要寻找 = key的;

  • 看似和普通二分法很像,但是我们在循环中没有判断if(arr[mid] == key)就返回mid(因为要寻找的不是等于key的),而是在最后返回了L

举个例子:

image.png
    /**查找第一个大于key的元素的下标 */
    static int firstLarge(int[] arr,int key){
        int L = 0,R = arr.length - 1;
        int mid;
        while(L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        return L;
    }


<font color =red>第一个...的总结

上面写了三个第一个.....的程序,可以发现一些共同点 ,也可以总结一下它们微妙的区别:

  • 最后返回的都是L

  • 如果是寻找第一个等于key的,是if( arr[mid] >= key) R = mid - 1,且最后要判断L的合法以及是否存在key

  • 如果是寻找第一个大于等于key的,也是if(arr[mid] >= key) R = mid - 1,但是最后直接返回L

  • 如果是寻找第一个大于key的,则判断条件是if(arr[mid] > key) R = mid - 1,最后返回L


最后一个=key的,不存在返回-1

和寻找第一个 = key的很类似,不过是方向的不同而已:

  • 数组中有可能有重复的key,我们要查找的是最后一个 = key的位置,不存在返回-1

  • 为了更加的直观的理解,和寻找第一个...的形成对比,这里是当arr[mid] <= key的时候,我们要去右边查找(L = mid + 1),同样是直观的理解,因为我们是要去找到最后一个 = key的,所以不仅仅是arr[mid] < key要去左边寻找,等于key的时候也要去左边寻找;

  • <font color = red>和第一个....不同的是,我们返回的都是R

  • 同时我们也要判断R的下标的合法性,以及最后的arr[R]是否等于key,如果不等于就返回-1

举个例子:

image.png
    /**查找最后一个与key相等的元素的下标, 如果没有返回-1*/
    static int lastEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] <= key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        if(R >= 0 && arr[R] == key)
            return R;
        return -1;
    }

最后一个<=key

这个和上面那个寻找最后一个等于key的唯一的区别就是:

  • 最后我们不需要判断 (R >= 0 && arr[R] == key),因为如果不存在key的话,我们返回最后一个 < key的元素即可;

  • 注意这里没有判断越界(R >= 0),因为如果整个数组都比key要大,数组最左边的更左边一个(也就是-1);

    /**查找最后一个小于等于key的元素的下标 */
    static int lastSmallEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] <= key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        return R;
    }

最后一个<key

这个和上面两个不同的是:

  • <font color = red>和上面的程序唯一不同的就是arr[mid] <= key改成了 arr[mid] < key,因为我们要寻找的不是= key的;</font>

  • 注意这三个最后一个的都是先对L的操作L = mid + 1,然后在else 中进行对R的操作;

[图片上传失败...(image-c6ae4-1571461689829)]

    /**查找最后一个小于key的元素的下标*/
    static int lastSmall(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while(L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] < key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        return R;
    }


<font color =red>最后一个...的总结

上面三个都是求最后一个.....的,也进行一下总结:

  • 最后返回的都是R

  • 第一个if判断条件(不管是arr[mid] <= key还是arr[mid] < key) ,都是L的操作,也就是去右边寻找;

  • 如果是寻找最后一个 等于key的, if(arr[mid] <= key) L = mid + 1; 不过最后要判断R的合法性以及是否存在key

  • 如果是寻找最后一个 小于等于 key的,也是if(arr[mid] <= key) L = mid + 1;不过最后直接返回R

  • 如果是寻找最后一个 小于 key的,则判断条件是 if(arr[mid] < key) L = mid + 1 ,最后返回R


完整测试代码

public class BinarySearch {

    //最普通的二分搜索法
     static int bs1(int[] arr,int key){
        int L = 0,R = arr.length - 1; //在[L,R]范围内寻找key
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] == key)
                return mid;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid - 1;// key 在 [L,mid-1]内
            else
                L = mid + 1;
        }
        return -1;
    }

    //和上面的完全一样,只是一开始R不是arr.length-1 而是arr.length
     static int bs2(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length; //注意这里R = arr.length 所以在[L,R)开区间中找
        int mid;
        while( L < R){ //注意这里 不是 L <= R
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] == key)
                return mid;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid; // 在[L,mid)中找
            else
                L = mid + 1;
        }
        return -1;
    }


    /**查找第一个与key相等的元素的下标, 如果不存在返回-1 */
     static int firstEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1; //在[L,R]查找第一个>=key的
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] >= key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        if(L < arr.length && arr[L] == key)
            return L;
        return -1;
    }

    /**查找第一个大于等于key的元素的下标*/
    static int firstLargeEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] >= key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        return L;
    }


    /**查找第一个大于key的元素的下标 */
    static int firstLarge(int[] arr,int key){
        int L = 0,R = arr.length - 1;
        int mid;
        while(L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        return L;
    }


    /**查找最后一个与key相等的元素的下标, 如果没有返回-1*/
     static int lastEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] <= key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        if(R >= 0 && arr[R] == key)
            return R;
        return -1;
    }

    /**查找最后一个小于等于key的元素的下标 */
    static int lastSmallEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] <= key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        return R;
    }


    /**查找最后一个小于key的元素的下标*/
    static int lastSmall(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while(L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] < key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        return R;
    }


    public static void main(String[] args) {

        int[] arr = {1,3,4,6,6,6,6,6,6,8,9};

        System.out.println("----------general-----------");

        System.out.println(bs1(arr,3));//1
        System.out.println(bs2(arr,3));//1
        System.out.println(bs2(arr,6));//5


        System.out.println("-----------first------------");

        //第一个 =  的
        System.out.println(firstEqual(arr,6));//3

        //第一个 >= 的
        System.out.println(firstLargeEqual(arr,5));//3
        System.out.println(firstLargeEqual(arr,6));//3

        //第一个 > 的
        System.out.println(firstLarge(arr,6));//9

        System.out.println("------------last------------");

        //最后一个 =  的
        System.out.println(lastEqual(arr,6));//8

        // 最后一个 <= 的
        System.out.println(lastSmallEqual(arr,7));//8
        System.out.println(lastSmallEqual(arr,6));//8

        //最后一个 < 的
        System.out.println(lastSmall(arr,6));//2

    }
}

效果:
[图片上传失败...(image-3b5bd9-1571461689829)]