刷题32——面试题60:n个骰子的点数

题目:

把n个骰子扔在地上,所有骰子朝上一面的点数之和为s。输入n,打印出s的所有可能的值出现的概率。

骰子一共有6个面,每个面上都有一个点数,对应的是1~6之间的数字。所以n个骰子的点数和的最小值为n,最大值为6n.另外,根据排列组合的知识,我们还知道n个骰子的所有点数的排列数位6n。要解决这个问题,我们需要先统计出每个点数出现的次数,然后把每个点数出现的次数除以6n,就能求出每个点数出现的概率。

思路一:基于递归求骰子点数,时间效率不够高

现在我们考虑如何统计每个点数出现的次数。要想求出n个骰子的点数和,可以先把n个骰子分为两堆:第一堆只有一个;另一堆有n-1个。单独的那一个有可能出现16的点数。我们需要计算16的每一种点数和剩下的n~1个骰子来计算点数和。接下来把剩下的n-1个骰子仍然分成两堆:第一堆只有一个;第二堆有n-2个。我们把上一轮那个单独骰子的点数和这一轮单独骰子的点数和相加,再和剩下的n-2个骰子来计算点数和。分析到这里,我们不难发现这是一种递归的思路,递归结束的条件就是最后只剩下一个骰子。

我们可以定义一个长度位6n-n+1的数组,将和为s的点数出现的次数保存到数组的第s-n个元素里

python代码如下:

class Solution:

    def PrintProb(self, n):
        if n <1:
            return
        g =6
        maxSum =n *g
        pProb =[0]*(maxSum -n +1)
        self.Prob(n, pProb)
        total =6**n
        for i in range(n, maxSum+1):
            ratio =pProb[i-n]/total
            print(i,': ',ratio)
            
    def Prob(self, n, pProb):
        g =6
        for i in range(1, g+1):
            self.Prob2(n, n, i, pProb)
            
    def Prob2(self, ori, cur, sum, pProb):
        g =6
        if cur ==1:
            pProb[sum -ori] +=1
        else:
            for i in range(1, g+1):
                self.Prob2(ori, cur-1, i+sum, pProb)

思路二:动态规划

  1. 现在变量有:骰子个数,点数和。当有c个骰子,点数和为k时,出现次数记为dp(c, k)。那与c-1各骰子阶段之间的关系是怎样的?

  2. 当我有c-1个骰子时,再增加一个骰子,这个骰子的点数只可能为1、2、3、4、5或6,则有:

    • (c-1, k-1):第c个骰子投了点数1

    • (c-1, k-2):第c个骰子投了点数2

    • ……

    • (c-1, k-6):第c个骰子投了点数6

    在c-1个骰子的基础上,再增加一个骰子出现点数和为k的结果只有这6种情况,所以:

    dp(c, k) =dp(c-1, k-1) +dp(c-1, k-2) +dp(c-1, k-3) +dp(c-1, k-4) +dp(c-1, k-5) +dp(c-1, k-6)(注意当k<6的处理越界问题)

  3. 有一个骰子:

    dp(1, 1) =dp(1, 2) =dp(1, 3) =dp(1, 4) =dp(1, 5) =dp(1, 6) =1

    因此状态转移方程为:

    dp(c)(k) =sum(dp(c-1)(k-m))(1<=m<=g and m<k)

def get_ans(n):
    if n<1:
        return
    total =6**n
    dp =[[0 for i in range(6*n+1)] for j in range(n+1) ]
    for i in range(1,7):
        dp[1][i] =1
    
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(2, 6*n+1):
            sum =0
            
            for m in range(1, j):
                if m <=6:
                    sum +=dp[i-1][j-m]
            dp[i][j] =sum
            
    for k in range(n, 6*n+1):
        print(k, ': ', dp[n][k]/total)

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