什么是平衡二叉树？
任意一个节点（不是叶子节点，否则就是完全二叉树了），左子树和右子树的高度差不超过1
满二叉树是平衡二叉树
上图这颗树不是平衡二叉树
当平衡因子（节点的左右子树高度差）>=2时，表示树不再是平衡二叉树
AVL树的实现
public class AVLTree<K extends Comparable<K>, V> {
private class Node{
public K key;
public V value;
public Node left, right;
public int height;
public Node(K key, V value){
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
height = 1;//默认叶子节点高度为1
}
}
private Node root;
private int size;
public AVLTree(){
root = null;
size = 0;
}
public int getSize(){
return size;
}
public boolean isEmpty(){
return size == 0;
}
private int getHeight(Node node){
if (node == null){
return 0;
}
return node.height;
}
//获取节点平衡因子
private int getBalanceFactor(Node node){
if (node == null){
return 0;
}
return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}
// 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)
public void add(K key, V value){
root = add(root, key, value);
}
// 向以node为根的二分搜索树中插入元素(key, value)，递归算法
// 返回插入新节点后二分搜索树的根
private Node add(Node node, K key, V value){
if(node == null){
size ++;
return new Node(key, value);
}
if(key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if(key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
//更新height
//判断左右子树哪个较大
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right));
//计算平衡因子
//判断平衡因子是否大于1，若大于1则不符合平衡树的性质
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1){
System.out.println("unbalanced" + balanceFactor);
}
return node;
}
// 返回以node为根节点的二分搜索树中，key所在的节点
private Node getNode(Node node, K key){
if(node == null)
return null;
if(key.equals(node.key))
return node;
else if(key.compareTo(node.key) < 0)
return getNode(node.left, key);
else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
return getNode(node.right, key);
}
public boolean contains(K key){
return getNode(root, key) != null;
}
public V get(K key){
Node node = getNode(root, key);
return node == null ? null : node.value;
}
public void set(K key, V newValue){
Node node = getNode(root, key);
if(node == null)
throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");
node.value = newValue;
}
// 返回以node为根的二分搜索树的最小值所在的节点
private Node minimum(Node node){
if(node.left == null)
return node;
return minimum(node.left);
}
// 删除掉以node为根的二分搜索树中的最小节点
// 返回删除节点后新的二分搜索树的根
private Node removeMin(Node node){
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
// 从二分搜索树中删除键为key的节点
public V remove(K key){
Node node = getNode(root, key);
if(node != null){
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key){
if( node == null )
return null;
if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
node.left = remove(node.left , key);
return node;
}
else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
node.right = remove(node.right, key);
return node;
}
else{ // key.compareTo(node.key) == 0
// 待删除节点左子树为空的情况
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
// 待删除节点右子树为空的情况
if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
return leftNode;
}
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
}
AVL树的自平衡
AVL树自平衡之前，
需要先判断它是否为一颗二分搜索树，
以及是否为一个平衡二叉树，
若符合这些条件，再进行自平衡操作
//判断是否为二分搜索树
public boolean isBST(){
ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();
//进行中序遍历
inOrder(root,keys);
//若中序遍历后不是按从小到大的顺序排列
//则不是一颗二分搜索树
for (int i = 1;i < keys.size(); i++){
if (keys.get(i-1).compareTo(keys.get(i)) > 0){
return false;
}
}
return true;
}
//进行中序遍历
private void inOrder(Node node, ArrayList<K> keys){
if (node == null){
return;
}
inOrder(node.left,keys);
keys.add(node.key);
inOrder(node.right,keys);
}
//判断是否为一颗平衡二叉树
public boolean isBalanced(){
return isBalanced(root);
}
private boolean isBalanced(Node node){
if (node == null){
return true;
}
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
//判断左右子树高度差是否大于1
if (Math.abs(balanceFactor) > 1){
return false;
}
return isBalanced(node.left) &&isBalanced(node.right);
}
AVL的左右平衡旋转操作
当插入一个节点时，
需要以这个节点向上维护平衡性
当插入的节点在相对不平衡节点侧的时候
一般需要维护
当不平衡发生在左侧子树的时候，进行右旋转
左旋转（RR）与右旋转(LL)
//右旋转
// 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// x T4 向右旋转 (y) z y
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// z T3 T1 T2 T3 T4
// / \
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y){
//得先暂存到时会被重新刷新的点
Node x = y.left;
Node T3 = x.right;
//开始右旋转
x.right = y;
y.left = T3;
//更新height高度值
y.height = Math.max(getHeight(y.left),getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left),getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
//再在相应的语法add方法中添加判断
//平衡维护
//当不平衡发生在左子树时，进行右旋转
if (balanceFactor >1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0){
return rightRotate(node);
}
左旋转同理
// 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// T1 x 向左旋转 (y) y z
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// T2 z T1 T2 T3 T4
// / \
// T3 T4
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
// 向左旋转过程
x.left = y;
y.right = T2;
// 更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
特殊旋转LR和RL
当右旋转或左旋转无法一次性解决平衡二叉树问题时，
我们将使用特殊的旋转方式LR
如上图所示，
我们应该先对x进行左旋转，
使之转化为LL（左旋转）形式
转化为下图
最后再进行右旋转（RL同理）
//LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
//RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
AVL删除元素
我们在删除元素时，
也应该考虑到树的平衡性，
以及树的旋转
private Node remove(Node node, K key){
if( node == null )
return null;
Node retNode;
if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
node.left = remove(node.left , key);
// return node;
retNode = node;
}
else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
node.right = remove(node.right, key);
// return node;
retNode = node;
}
else{ // key.compareTo(node.key) == 0
// 待删除节点左子树为空的情况
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
// return rightNode;
retNode = rightNode;
}
// 待删除节点右子树为空的情况
else if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
// return leftNode;
retNode = leftNode;
}
// 待删除节点左右子树均不为空的情况
else{
// 找到比待删除节点大的最小节点, 即待删除节点右子树的最小节点
// 用这个节点顶替待删除节点的位置
Node successor = minimum(node.right);
//successor.right = removeMin(node.right);
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
// return successor;
retNode = successor;
}
}
if(retNode == null)
return null;
// 更新height
retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));
// 计算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
// 平衡维护
// LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0)
return rightRotate(retNode);
// RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0)
return leftRotate(retNode);
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
retNode.left = leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
retNode.right = rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);
}
return retNode;
}
2-3树的实现
2-3树是一种满足二分搜索树性质，
一个节点可能存放1个元素，也有可能存放2个元素的绝对平衡树结构
当2-3树的左右子树指向值为null的时候，
将会进行节点的融合（二分搜索树则会直接代入null的节点中），使一个节点存放2个元素
2-3树进行融合的过程(符号表示)：
[37] -- > 42
当37要插入节点时，节点会判断左右子树的值是否为null,
若为null，则
[ ] --> [37,42]
若此时再插入一个元素，则会临时加入节点
如插入元素12
[12] --> [37,42]
[ ] --> [12,37,42]
并判断是否为2-3树（ [12,37,42]这种结构将可能有4个节点），
若非2-3树则重新拆分为
而当形成的树的叶子节点不是一个3-4节点树，
如下图
则会与上一层的节点合并成一个新的2-3树
红黑树和2-3树的等价性
因为红黑树与2-3树不同，
一个节点只能存储一个元素，
所以会以节点之间相互连接的方式存储
我们可以得出红黑树中红色节点都是位于其相对的节点的左子树中
如下图
2-3树与红黑树的转换
所以红黑树的实际结构其实可以是
而对应的它从根节点到任意一个叶子节点，
黑色节点的数量是一样的（2-3树同理）
所以我们称红黑树是一种“黑平衡”二叉树，而非平衡二叉树
最大的高度为2logn(可能是3节点)，添加或删除的时间复杂度为O(logn)，
若进行高频率添加删除选择红黑树，
若进行查询更多则使用平衡二叉树（AVL）
红黑树的实现
public class RBTree<K extends Comparable<K>, V> {
public static final boolean RED = true;
public static final boolean BLACK = false;
private class Node{
public K key;
public V value;
public Node left, right;
public boolean color;
public Node(K key, V value){
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
color = RED;//向下添加一个节点时，总是会进行融合，而融合的节点正是红节点，所以默认为RED
}
}
private Node root;
private int size;
public RBTree(){
root = null;
size = 0;
}
public int getSize(){
return size;
}
public boolean isEmpty(){
return size == 0;
}
}
红黑树添加元素
红黑树添加元素与2-3树相同，
先把元素添加进2节点，形成一个3节点
或把元素添加进3节点，形成一个4节点
添加的元素永远为红色节点（红色节点只能在黑色节点的左侧）
若不满足红色节点在黑色节点的左侧的性质，
则应进行左或右旋转
// node x
// / \ 左旋转 / \
// T1 x ---------> node T3
// / \ / \
// T2 T3 T1 T2
private Node leftRotate(Node node){
Node x = node.right;
// 左旋转
node.right = x.left;
x.left = node;
x.color = node.color;
node.color = RED;
return x;
}
// node x
// / \ 右旋转 / \
// x T2 -------> y node
// / \ / \
// y T1 T1 T2
private Node rightRotate(Node node){
Node x = node.left;
// 右旋转
node.left = x.right;
x.right = node;
x.color = node.color;
node.color = RED;
return x;
}
// 颜色翻转
private void flipColors(Node node){
node.color = RED;
node.left.color = BLACK;
node.right.color = BLACK;
}
// 向二分搜索树中添加新的元素(key, value)
public void add(K key, V value){
root = add(root, key, value);
}
// 向以node为根的红黑树中插入元素(key, value)，递归算法
// 返回插入新节点后红黑树的根
private Node add(Node node, K key, V value){
if(node == null){
size ++;
return new Node(key, value);
}
if(key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if(key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
if(isRed(node.right) && !isRed(node.left)){
node = leftRotate(node);
}
if(isRed(node.left) && isRed(node.left.left)){
node = rightRotate(node);
}
// 颜色翻转
if(isRed(node.left) && isRed(node.right)){
flipColors(node);
}
return node;
}
性能总结
对于完全随机的数据，二分搜索树效率不错
缺点：极端情况会退化成链表
查询较多的情况下，AVL树效率相对不错
红黑树牺牲了平衡性（2logn的高度），但在增删改查综合使用的时候效率更高
