克里斯蒂安·菲利克斯·克莱因

1.1849年4月25号夜间,杜塞尔多夫当地帝国议会秘书的家里笼罩着紧张的气氛。外面,起义的莱茵兰人民建起的街垒对抗着政府军的隆隆炮火;家里,做好了一切逃跑准备,可没人愿意离开;就在那一夜,严厉的普鲁士秘书得了个儿子,这儿子便是菲利克斯·克莱因。他的出世标志着1848年革命的彻底破产;他的一生便是普鲁士人统治德意志的时间;而他本人则是这些统治者身上最优秀最高贵品质的化身;随着他最终病入膏肓,这统治也迎来了自身的毁灭。神经方面的疾病,早年就不时给他以强烈的警兆,最终逐步地,不可抗拒地掌控降服了他。他觉得,这病情部分来自母亲的遗传,部分源于他毫无节制地消耗自身的精神能量——这种能量如此坚韧,甚至在他生命终末的两年,无助地躺在病床上,日甚一日地衰弱下去时,他也从未抱怨过半句,至死神智清明,工作,甚至校正样稿。1925年6月22号,星期一傍晚八点半,他毫无痛苦地逝去了

{注:以下原文注释不标记,译者所加注释用{}标出}

2.少有数学家如同克莱因这样,留下如此丰富的素材,足以令人对他的生平工作盖棺定论。我们知道他的一生:他在去世前两年亲手写下;以及数学论文集,他亲自彻底修订,其中随处可见自传性质的补充注释和介绍短文;还有大量的数学讲义,多年来以影印形式四处流传;甚至他逝世前几年做的一系列讲座的可靠记录,由他的同事兼继任者柯朗教授仔细地订正过。

他去世后,他的众多门生笔下涌出了一篇篇描绘他个人与工作的文章。可是:正如一个有强烈个性的人,一处惊艳绝伦的风景,对未曾见过原版的人而言,照片根本无法传达其中风采。克莱因的情形正是如此,也必定如此。同时,皇家学会有义务好好纪念这位它最年长的外籍成员,罗列几项生平事迹是远远不够的。不光为着克莱因名列学会成员四十年之久,于1912年得到了科普利勋章,更不单缘于他为许多学会成员所熟识与敬重。而是由于克莱因的一生与数学研究的更新换代紧密相连。

3.有人说,克莱因是一切时代最伟大的数学家之一,这他自然当不起;然而他的个人影响力如此强烈,甚至远在他的国家以外的地方都深受影响,也许比现代任何数学家都更强烈。这是因着他强势有魅力的个性,因着他对数学观念的高瞻远瞩,因着他理性客观的开放思维。这理性的思维偶尔会染上个人感情波动的色彩,因为克莱因秉性绝无人们通常喜欢假想的数学家那般冷酷算计。克莱因的影响力部分来自莫测的机缘,英格兰人通常无动于衷地称之为“走运”,一系列无法预料的外部事件给他提供了超常的机遇,可若非聪慧之极、品行端方的人遇上这种机会,必定要落得不光彩的下场。部分来自他吸引听众的能耐,即使是他鲜有涉足的数学领域,也能讲的娓娓动听。部分来自他对教育事业不知疲倦的奉献,然而他这方面的努力如此成效显著,该归因于克莱因激起了一个人诚挚的热情,使他为此执行措施,Althoff,曾是哥廷根大学的管理者,后来又升职为普鲁士教育部部长。

4.克莱因天赋早熟,十七岁时他就被尤利乌斯·普吕克选中作为波恩大学物理实验室的助教。索末菲告知我们,在这个实验室里,普吕克同盖斯勒(他的玻璃吹制工)一起发明制造了盖斯勒管,在英国通常被称作克鲁克管。克莱因一辈子都想当物理学家,就像歌德的靡菲斯特,意在作恶却老是造善,克莱因终生挣扎着想做点纯粹数学以外的东西,而总是立刻发现,最终什么别的都没做。当然,普吕克的口味这时也变了,经过多年的停歇,他又恢复了早年对几何的热爱。年轻时他发现了以他名字命名的著名方程,晚年他则点燃了克莱因的兴趣之火。

皇家学会应当记住,是普吕克而非凯莱,指出空间中的六个齐次线坐标之间,存在二次的条件方程,发表在学会的汇报上(1865,pp,725-791).克莱因的早期工作全是线几何学,或者至少与此相关。然而甚至在写他的博士论文时,那时他才十九,普吕克死后一年,就已经无意识地引入了他日后工作的典型标志——群的概念。同样,在他为博士学位答辩准备的五篇论文之一当中,为了说明先前巴塔利尼所考虑的二元形式复量不是最一般的二元形式复量,他的论证方式依赖于一个三参数的普吕克坐标变换,在这种变换下整个巴塔利尼复量集不变;这种变换自然就是,群。

普吕克死后(1868.5.22)留下了未完成的著作《以直线为基本元素的新空间几何》Clebsch把完成与修订后半本书的任务交给了普吕克年轻的助教,唯一和原作者有过长期交流,能够按照他的精神编辑手稿,填补空缺的人。

5.既然Clebsch新近在哥廷根就职,克莱因便随他而去,每天都与他当面交流。在Clebsch的影响下,普吕克在克莱因心中点燃的对几何模型的热爱愈发炽烈。顺带一说,普吕克告诉过克莱因,主要是因着法拉第,他才意识到模型的重要性。法拉第并非数学家,他在工作中意识到,为了理解他所需要的数学结果,建立物理模型是极有帮助的。熟识英国科学家们的普吕克似乎有意指导克莱因学习英语,阅读英国数学家的著作,由此,克莱因与英语国家及人民结下了至死不渝的友情。

1868年,哥廷根的一次数学会议上,克莱因初次见到真正的模型(维纳制造),是凯莱1849年发现的,由27根实直线组成的立方曲面。克莱因对凯莱的工作已经相当熟悉了。此事令克莱因想亲自动手做做模型,这一决心得到了Clebsch的赞许,而他真的(在1871年)用锌片构造了一个四阶库默尔曲面,有16个双重点和16个双重面,正如此曲面在线几何学中的其他特殊情形一样。终其一生,他对曲线和曲面的真实形态都极感兴趣。他深信模型和实物在数学教学中的作用。此生终结时,他能够骄傲地说,在他和他朋友们——Brills和Dyck——的努力下,德国每间大学都有完备的数学模型藏品。

6.克莱因第一次去哥廷根,从1869年年初待到同年8月,第二次居留则从1871年年初待到1872年9月,最终在1886年永远定居于此。第一次和第二次之间有着三段非常重要的时期,他去了柏林,去了巴黎——此事容后再表,还参加了普法战争,不过他不能服现役,只参加了救护部队,不久因伤寒发热被遣送回家

1869年8月,罔顾Clebsch的建议,无视普吕克先前给过的警告,克莱因去了柏林,在那里待到1870年3月。不像在波恩和哥廷根,柏林的权威们对克莱因的人格魅力无动于衷,这点上Clebsch和普吕克的预言说对了。尽管他在库默尔曲面上做过工作,还在库默尔的讨论班上报告过自己的线几何学,连他自己都惊讶的是,他和库默尔在光学代数系统上的共同研究,居然没能在他们之间建立起任何关系。在魏尔斯特拉斯的心里,对克莱因确定无疑的反感已经产生。魏尔斯特拉斯的学生口口相传,克莱因是个“该遭天罚的异端”,就是说他搞的根本不是数学。然而,当初在利普希茨的建议下,克莱因在博士论文的草稿中添加了一部分以魏尔斯特拉斯的基础工作为出发点的讨论,论证退化情形;考虑到克莱因对开阔视野的热忱渴望,不受任何门户之见拘束的决心,他坚持要到柏林来,很可能就是希望能从和魏尔斯特拉斯的个人交往中获益。然而,他却亲口告诉我们,他几乎不上任何课,只是在跟同学季培特的交往中,才领略并学习了魏尔斯特拉斯的椭圆函数,他唯一一次在魏尔斯特拉斯的讨论班上发言;论及凯莱的理论,在总结中他猜测,这可能和非欧几何有关。不久前,他才刚刚从另一位同学奥托·施陶茨那里听说非欧几何。魏尔斯特拉斯坚决否认这种猜测,说距离的概念才是一切几何的基础。后来,克莱因用几年时间把这个想法扩展成一系列论文;1873年在布拉福德参加大不列颠协会会议时,克莱因跟凯莱本人当面谈过这个问题,在场的还有克利福德和罗伯特·鲍尔爵士,克莱因从未能使凯莱和鲍尔信服他不是在循环论证。当然,对冲动勇敢依靠直觉的克莱因而言,他缺乏足够的耐心和审慎,用来说服他们。

7.在Clebsch的影响下,克莱因在23岁这样轻的年纪就当上了埃尔朗根大学的数学教授。然而这却不是个扬名立万的好机会,乍一看来,这件事对初出茅庐的年轻几何学家甚至可能成为毁灭性灾难,因为他最重要的支持者Clebsch于1872年11月7日猝死于白喉。两天前,克莱因刚刚上了第一节数学课,只来了两个学生,其中一个再也没有出现,另一个也只来过一两次。Clebsch的衣钵责无旁贷地落到了克莱因手上,许多高年级的学生立刻从哥廷根前往埃尔朗根,其中好些比克莱因年纪还大。年轻的教授突然成了热烈的数学气氛中心,正像先前在哥廷根曾经存在过的那种热烈氛围。

正是在埃尔朗根,克莱因完成了他最著名的成就,即埃尔朗根纲领。说它是对几何学思维的根本革命毫不为过。虽说在细节上稍有微瑕,可想想作者的年纪,想想当时的数学观念,这项成就实在极其惊人。克莱因后来补充的注释以及关于它诞生的说明,都增加了这篇文章的趣味。其中的新想法是,几何种类繁多,尤其是19世纪如雨后春笋般冒出种种新几何(非欧几何,射影几何,线几何等等)而所有不同的几何都可以从同一个角度来看,群论,各式各样的几何都不过是某个群变换下的不变量。这个想法一经问世,甚至索菲乌斯·李也"大为震惊"。克莱因一直惦记着这个想法,预见它必定可以应用到几何之外的其他数学领域。特别是爱因斯坦的相对论发展重新燃起了晚年克莱因对埃尔朗根纲领的兴趣。当他发现他的物理学家朋友里没人对最一般的四维空间共形变换群感兴趣时,不由得深感挫败,贝特曼和坎宁安曾指出,麦克斯韦方程在这个群变换下保持不变。

克莱因在埃尔朗根结了婚,甚至在暮年时分,他妻子的美貌依旧鲜明;是位甜蜜文雅的主妇,可惜忍受着逐步加剧的耳聋折磨,而丈夫有着异乎寻常敏锐的听力,成了他们家庭生活可以察觉的特性,凡是有幸体验过克莱因一家简朴老式的友好接待的人,都不会忘记这种特性。她是安娜·黑格尔,埃尔朗根一位教授的女儿,哲学家黑格尔的孙女。

8.在埃尔朗根,克莱因沿着《纲领》的道路前进,将如下简单原则当作指路明星——"代数形式,在几个线性置换群下回到自身,由此便可预测它有什么特殊性质。他用来阐明这个思想的第一个例子是用黎曼把复平面映射到球上的解释,来处理三次四次的二元形式。此处显然可见Clebsch对克莱因思维的影响,他指导克莱因去研究线性变换,二次型的不变量和协变量理论。但克莱因以他特有的开阔思维处理了这个问题,他说,他曾一再怀着希望与恐惧扪心自问,热衷系统化的射影方法的Clebsch,对他这种有着天壤之别的几何方法,会说什么呢?然而Clebsch未能活到读了埃尔朗根纲领的一天。

克莱因在巴黎时学了些伽罗华的工作,在《纲领》的结束语中,他提到了方程式理论,亦即伽罗华用群论来解代数方程的努力。他暗示线性置换论也可作相似的考虑,应用黎曼的解释,就能看出球面上的几何关系对应于正多面体。在这样的解释下,线性置换就成了球对不同直径的旋转,加上对径平面的反射。因而一切已知正多面体的顶点。可定义为在这种旋转下回到自身的集合。这就给了我们x+iy的二元形式,在特定的线性变换群下不变。用这种方式,克莱因证明了他可以构造出所有可能的x+iy的线性变换有限群,只靠五个古典的柏拉图正多面体,和一个正多边形的平板,作为正多面体的退化情形。更进一步,应用伽罗华的理论,他解出了五次方程,吸引了当时几位最好的数学家注意力。

9.1875年,克莱因从巴伐利亚小城埃尔朗根搬到了巴伐利亚首府慕尼黑的工科学校。德国社会等级森严分明,各成各的小集团,技术学校教授地位通常比大学教授低一等;但克莱因有着更长远的计划。他眼里的技校应当同巴黎与苏黎世的多科工艺学校毫无二致,接受慕尼黑任命时,他觉得自己又上了一个台阶*。正在此时,Brill也从达姆施塔特来到慕尼黑,有他在,克莱因的计划就更容易为人理解了。而他本人的经验,对技术学校传统的熟知,对实际工作的认识,对克莱因是无价之宝。克莱因当然也很开心,有Dyck当他的助教,赫维茨当他的学生。后者是他在椭圆模函数上工作的主要合作者,这是克莱因的不朽丰碑之一。

*“巨大的飞跃”克莱因《自传》19页

埃尔朗根的岁月不过是热身,在慕尼黑克莱因才开始真正发力,用他自己的话讲,他"把自己打造成一个独立自主的数学家"然而,同时他却弄坏了自己的身体,1880年被莱比锡任命为几何教授后,他在那里病的极其严重。很可能因他在莱比锡受到的排挤而加速了身心崩溃。他比他的同事都年轻太多,他们憎恨他身上的革新倾向。特别是反对他决心要动用那个名存实亡的德语词"学术自由",在最广义的范围上诠释几何,开了一门几何函数论的课。

10.此时克莱因正在他数学能力的巅峰,在凌晨时分的海边,克莱因哮喘发作,倚靠在沙发上时,脑内闪过了自守函数中的“中心极限定理”,克莱因把这个定理视作他一切数学发现中最珍贵的。那是1882年复活节。这个定理是他早期关于二十面体和模函数工作的衍生品,受1881年2月、3月庞加莱在法兰西科学院周刊上先后发表的三篇短文刺激而产生。庞加莱的短文是论证富克斯函数的,这是他为了纪念富克斯而起的名字,指的是克莱因此后称作自守函数中的一部分特殊函数。

庞加莱只比克莱因小五岁#,在法国漫长的数学教育进程中,比克莱因成长的要晚些。1880-1881年他是卡昂的讲师。那里完全没有像样的图书馆,于是当他发表那预兆未来伟大理论的三篇短文时,全然没有注意到已有别人也在进行这样的工作。当克莱因写信指出他的疏漏时,他极富骑士风范地把剩下的所有自守函数都命名为克莱因函数¥。对未来的数学家而言,关乎这些函数的理论永远铭刻着克莱因和庞加莱纠缠的名字。他们此后的通信发表在数学学报,39卷,向我们展示了这两位数学家彼此间的关系如何成为这个理论的建筑基础。在克莱因崩溃后,庞加莱仍然继续他的工作。

#克莱因和别人对此事的说法,容易使人误会庞加莱比他年轻的多,而且在当时也非常年轻,这显然不合事实

¥见庞加莱《数学年鉴》20卷p53:说到克莱因函数,我用别的任何人的名字来命名它都不恰当,的确是Schottky先生最早发现了它的存在,可正如你在通信中指出的,是你在《论线性变换到自身的正则函数》结尾处最早意识到它的重要性

11.因病被迫放弃了一段时期工作,长远来看也必须减少工作量的情况下,克莱因单枪匹马地出版了一本书“论二十面体”。这本小册子所牵涉的课题里属于克莱因自己的原创部分,早已在《数学年鉴》上发表过。最好不过用克莱因自己的话来总结这本书和他先前在这个课题上做的工作之间的联系:

“这本书里,进一步详尽讨论了许多细节问题,也简化了不少问题,这方面果尔丹和季培特对我起了很大帮助,另一方面,许多内容被压缩了,尤其是不变量理论……其余部分,可以看作是按历史顺序讨论五次方程。此书出版后,数学圈子里以为我的目标是要为已存在的二十面体理论发展一套直观的解释。回想起来,这种看法一点也不符合我所坚持的观点。我更愿意认为先前埃尔米特,克罗内克和布廖斯基等人只为二十面体理论和椭圆函数论开了个头。证据就是非但从1876年到1880年,他们论证中的模棱两可之处从来没人澄清,而且,在我们的急速推进下,解决的是到那时为止还压根没人意识到的问题。回顾那些年时,我总是把那些大步前进的岁月视作我数学创造中最幸福的时期。由外观察,数学创造力的旺盛程度可以用我和果尔丹见面的频率来衡量。一般我们选择在艾希斯特相会,慕尼黑和埃尔朗根的中点。果尔丹后来最喜欢谈这种“橡树之地聊数学”*,这就是他给我们见面命的名”

{^见面地点是艾希斯特(Eichstadt),Eiche在德语中意为橡树}

12.看看克莱因和果尔丹的职业生涯,会发现他们截然不同。整整11年的时间,尽管果尔丹作为数学家的能力广受称赞,尽管他与Clebsch有着亲密的友谊与合作,果尔丹却只能在吉森大学当个无薪讲师。下一步是埃尔朗根的副教授,几个月后,比他小12岁的克莱因离去,空出正教授的位置,由他继任,果尔丹在这里一直干到离世前两年。他于1912年去世。果尔丹似乎有一种鲜见的天赋,也许可称之为数学共情力。果尔丹70岁生日纪念时的短暂发言里说他和Clebsch十年的关系是“愉快的伙伴,他的主要任务就是把那位多产的天才的想法散播到四周”。诺特也说,果尔丹面前好像没有什么困难不能克服,他以一种真正苏格拉底式的风范使所有课题得以明澈清晰。这人正该是克莱因的朋友,对克莱因深有了解的李说过:“我对克莱因的才华评价很高,永远也不会忘怀他总是在我的科研努力进程中心甘情愿地怀着同情陪伴我。然而我认为,例如,他不能充分区别归纳和证明,区分引入的概念和概念的解释”

13.果尔丹来埃尔朗根陪克莱因正是时机。克莱因渐渐从普吕克与Clebsch的代数与几何观念转换到黎曼更一般的观念上来,也就是几何化的函数论,这最终成了克莱因数学的重心。克莱因从未见过黎曼本人,然而他一到哥廷根就开始读黎曼的论文。而果尔丹则有幸亲聆黎曼教导,1862年的秋天听了几个星期,正在黎曼身体彻底垮掉之前。1866年,黎曼死后三个月,Clebsch和果尔丹合写了关于阿贝尔函数的书。克莱因对此评价:"这本书的重要意义在于,用解析几何方法成功重新推导了黎曼在代数曲线上得出的结论。那时黎曼本人的原始方法还只是他亲传学生们保守的秘笈,而其他数学家则对它心怀疑虑。必须强调,我立刻就看出,随着时日推移,曲线研究数学进展必定会自然而然地走向黎曼的方向,黎曼的方法将被所有数学家继承下来。"若说今天已是如此,将来也必定如此,主要得归功于热情传道的克莱因。克莱因的黎曼教派深奥难解的关键信条却只口口相传给他选定的门徒:读读黎曼!

很有意思的是,克莱因从莱比锡的身心交瘁中恢复过来的转折点,是巴特摩尔大学的邀请,请他担任西尔维斯特1884年离职后的继任者。他认为,正是这个邀请在他眼前展开了诱人的幻想前景,使他精神振奋,终于摆脱了抑郁的纠缠。他最终拒绝了这个邀请,美国大学日后还再三向他发出邀请。虽说年龄只到但丁所谓的"方吾生之半途",但克莱因充满创造力的年代已经终结;从那时起,很多年里,他致力于建立自己的数学学派。

1886年他接受了哥廷根的职位,真正的德国人不会以大城市为家,克莱因满怀热忱搬去了"这座花园小城"。时光以繁华的画笔为哥廷根上了动人的色彩,以至今日探访哥廷根的人难以想象它曾有多么朴素无华。至今哥廷根仍是一首中世纪的诗。在这儿,克莱因一家人度过了最幸福的岁月,他们亲手建了他们舒适的别墅,有着阴凉的花园。它一边紧邻礼堂,另一边则是哥廷根的林地,美丽的森林一直延绵到哈茨山上。每天吃过午饭,小憩一阵,克莱因便陪着他的同事和朋友去森林散步,边走边谈数学。此后他便去放满了书的办公室里见他指导的学生,同他们讨论工作,或者备自己的课。

16.克莱因一直对哥廷根极其满意,为此拒绝了一切其他大学的邀请。他见证了哥廷根再次闻名于世,成了无人胆敢想象的真切存在的奇迹,连高斯时代也未曾达到这样的高度。1893年圣诞节聚会时,他幽默地对学生说,转折点已经到来,哥廷根回到了宇宙中心,随之而来的奇迹自然是:夏娃女儿的降临。事实上,普鲁士大学的日常生活起了波澜。两位美国女生受克莱因当年在芝加哥讲课的影响,随他来到欧洲求学,同时另有一位格顿学院的女生也自发前来哥廷根,18个月后,她成了普鲁士大学第一位正式通过考试毕业的女性哲学博士

17.礼堂顶层是克莱因的课室;他课讲的最好时,听众通常不到一打,几乎全是外国人。但本世纪初,学生数量接近百人,听众大多是德国人。课室邻近漂亮的数学阅读室,紧靠的房间放着摆满模型的玻璃柜;教授课后呆在这里,这是"接待时间",任何学生都可以带着问题去找他请求帮助。给很少一点小费,学生就可以拿到一把阅读室的钥匙,随时可以进来看书(这里不像通常的大学图书馆,书可以拿出来),查阅手写或印刷的课程说明;最重要的是可以看前一天克莱因讲课的稿子,由他的助教作记录,克莱因亲自审阅。并不鲜见的是,教授课堂上脱口而出的疏漏错误在这里被提出并改正。这些助教里特别应该一提不幸过早离世的Ernst Ritter,大部分数学课程样稿他都提供了极多协助。这一切都是克莱因组织设计的,如今演变成了单独的数学研究所大楼。

18.克莱因对大学学会与制度起的作用,这里只能寥寥数语带过。克莱因在科学圈子和工业圈之间负责架起桥梁,这使他更容易发挥作用。克莱因提出了《哥廷根促进应用数学协会》的光辉想法,他访问过美国后,就一直想建这样的协会,最终成立于1898年。协会里有许多工业界大亨。这些有公众意识的人物提供资金,供大学任意使用。尽管普鲁士政府并不吝啬,给学校的拨款却仍然入不敷出,协会资金正可用于补足。由此成立新的测地学,天文学,精算保险,工程力学,工程电学联合研究所,创造新的职位,找到合适的人担任。

19.克莱因为哥廷根大学与哥廷根城所做的一切将被永远铭记;他的纪念碑就是今日的哥廷根。除了致力于倡导应用数学和纯粹数学地位平等以外,克莱因对哥廷根最重要的直接作用也许是挑选他的同事。若是人人公认或私下默认,教授职位的任命理由并非候选者的个人能力,则非但有损学校声誉,且将在长期内腐化风气。克莱因推荐新教授的两个基本原则,最重要的是个人要优秀,其次则要保证整体的多样性。尤其是克莱因选中希尔伯特来哥廷根,由此间接带来了闵可夫斯基。因为希尔伯特在拒绝柏林的邀请时提出条件,若要他留在哥廷根,则必须为闵可夫斯基创立一个新职位:克莱因拒绝这种要求时,他总是抓住机会为哥廷根大学谋求各种利益。这点值得我们注意,德国大学里这种行为蔚然成风,是德国大学最高尚的特性之一,在我们国家的大学里没有什么能与之比拟。

20.1907年哥廷根大学把克莱因选为代表,送他进了普鲁士议会,很难说克莱因对他自己国家的影响因此事而增加了多少。这个选举结果部分是因为大家想看克莱因把不知疲倦的精力消耗到大学以外的事情上去。可是,尽管他多次出席和教育有关的会议,却几近一言不发。

21.对新一代的数学家而言,克莱因的主要形象可能是数学科学百科全书计划的组织者。他有极好的记忆力,从不忘记他曾浏览过的东西。然而,终其一生他都没有快速吸收书本知识的特殊禀赋,随着时间推移,他发现自己越来越无法跟上当下数学发展的进度,哪怕是大略把握也不行,除非新的进展像相对论那样,和克莱因自己的早期工作有所联系,即使在这种情况下,克莱因也只是把握了他能理解的这部分联系。照克莱因的观点看,百科全书计划,就是为了给他的学生,他自己,给一切研究数学的人,降低当下数学研究入门的难度。90年代某天,笔者亲耳听到克莱因如此阐明百科全书的概念,他打了个有趣的比方,说数学进程如同建造一座高塔;有时塔高增加的飞快,有时却增长缓慢;这就是该修订反思的年代。这时在外界眼光里几乎没有进展,然而确有进步,在夯实地基,加强厚度方面。他认为当下就是这样的时期。最后得出结论,我们所需的是现存数学大厦的全景。

克莱因亲自担任的工作同他对应用数学的偏好一致:力学卷的编辑;但他着实是凌驾于整个百科全书计划之上的精神推动力;他在自传里说:“我在百科全书里始终强调,必须把应用数学和纯粹数学视为同等重要的根本问题。可这点却难于上青天,我们没能发表许多文章来阐明各个不同领域中应用数学的日常作用,相反,这方面的专家更愿意只写这些应用里纯属数学的部分。如此一来,我就确定,为了获得应用卷(力学,物理,地球物理学,天文学)必要的背景知识,必须跟多种多样的人面对面地谈。这就促成了我去奥地利,意大利,法国,英国,荷兰,丹麦的一些旅行”

在这样的旅程当中,五十岁生日那天,他到了都灵,当地数学家盛情款待他,笔者和妻子——人们说她是克莱因偏爱的学生——正在当地求学。晚宴上克莱因坐在她身边,对她的祝贺,他轻声回答:“哦!我妒忌你,你此刻正是多产的大好年龄。等到人人恭维你的时候,你就要走下坡路了。”

百科全书的构想壮丽辉煌,它的存在也意义重大。只要回想一下,在英国,到1892年为止,柯西的复变函数论(更别提黎曼了)竟然还几近无人知晓。可整体来说,百科全书不算成功。虽说根本的数学内涵一致,但要不同国度,不同文章,论述表面看来相去万里的课题的作者们好好合作简直不切实际。统一的规划使得百科全书计划的架构庞大到非同寻常的地步,就算这些都好了,文章本身也经常有所缺陷,不得不由德国数学协会的年鉴报告补充完整。我们情不自禁地想起罗杰斯·培根声称,要向一个有中等智力的人解释他所知的一切——那差不多就是到他那个时代为止累积下来的所有知识——只要三到六个月的时间就够了。一切真正有能力的数学家对现代数学自然也有相近的看法,一切必须的要素当然可以清晰分明地塞进短短几卷里,用不着太厚。可惜我们只能得到这一理想的近似品,最终成形的百科全书,乍看起来粗略之极。这是日耳曼精神的典型特征,产生一个大而无当的概念,再以令人敬慕的不屈不挠的耐心使之变得可以理解,切近实际,而罗曼思维则会迟疑不决,难以行动,除非形式已经做的非常漂亮完美。

22.克莱因的对工作的热情使他远在百科全书的任意方面有所成就之前,就不得不把组织问题丢给别人,自己则转向中学数学教育这一国际性问题。转向更为实际的工作,和数学家之外的思维方式打交道,数学家的想法其实比巨石像残留的躯干更为简单明了。在国际数学教学委员会里,克莱因担任主席,是委员会的三巨头之一,此外是一位环游世界的美国人,改革运动的先锋,大卫·尤金·史密斯,还有秘书长,瑞士本地教授,亨利·费尔。这一国际合作计划因大战被迫终止,最终流产。

23.哪怕只是浮光掠影地谈一谈克莱因全部计划,这里也写不下,不过我们难以抗拒提及其中一件迄今未完的庞大工程的冲动。克莱因是它主要的推动者,那就是编辑出版高斯的作品。对克莱因而言,高斯是数学全面性的化身,在这点上,他认为高斯比他自己更适合作为效仿的典范&。然而,如果说高斯是这一理想的原型,那也被高斯的个人性情所掩饰了;数学全面性真正的传道者是克莱因,毫不夸大地说,他可以被视作二十世纪意义上“数学科学”的创立者,超脱各项科目专门化和狭隘的民族主义之上。诚然,当今时代,物质文明的力量初时隐秘,此后公然地破坏文明国家团结的基石,挑起妒忌和纷争,引发战乱,克莱因却代表着截然相反的原则。凭着他在自己国家的地位,对世界知识分子的影响,成了追求国际和平友爱的重要力量之一。尤其在于,正是克莱因复兴了中世纪传统——那时拉丁文是有教养人物的通用语言——邀请各国杰出学者前来开讲座#

&几乎每个新数学思想诞生时,克莱因就会摘引一段高斯,说明高斯早就预见到了。

#特别应该提到,庞加莱于1895年去哥廷根,用法语对数学教授和学生做了演讲。

24.只消对克莱因的自传匆匆扫一眼,就会对他频繁提到友谊一事印象深刻。克莱因的特质是,这些友谊都直接或间接地和他的数学事业或行政组织工作有关。他着实是个别无爱好的人;有一点从心理学的观点来看特别有趣,稀奇古怪,虽说是个德国人,虽说上天赋予他无比敏锐的听力@,他却从来分不清两个音调。

@在课上,他能听清最微弱的轻声细语。还有,出外旅行时,他一般都睡不着,除非拿棉花或羊毛把耳朵堵上,1897年他来三一学院领受剑桥大学荣誉学位时就是这么办的。

对克莱因而言,社交就是交流思想,这点上他同古雅典人一样热切。在这样的意见交流中,他自己的思想逐步成形。由此,说克莱因从不是最早提出他自己思想的人,可能并非虚言。他缺少柯西或者康托尔那样源源不断的新思想,却有超凡的力量抓住细微迹象的重要性,把它放到更大的图景里,显现出无人曾想象过的意义

我们已经顺带谈过几段激励克莱因成为数学家或直接影响过他的数学生涯的亲密友谊。最重要的是他同李的友情,值得在此占有一席之地。谈到这事,我们就要回到他1869年在柏林的居留。克莱因写:“在柏林这段时间里,最重要的事情当然是,将近十月底的一次柏林数学协会会议上,我认识了挪威人索菲乌斯·李,我们各自的工作源头不同,却殊途同归,至少也统一在极其相近的问题上。于是我们便天天见面,快乐地交流思想。我们如此亲密,主要是因为身边再没有别的对我们的几何感兴趣的人。”这段时间里,他们俩主要处理线几何学。

1870年夏天,克莱因和李前往巴黎,他们住在隔壁房间,生活在最亲近的友谊结合中。他们起初打算冬天来英国,普法战争爆发拦住了他们的脚步。在这件事上,克莱因写道:“在那时,德国几乎不理解开阔国际科学视野、了解外国研究方向的重要性。比如,在我父亲的叮嘱下,我希望能从柏林教育部那里得到推荐信,收到的官方回复是:‘我们用不着法国或英国的数学。’”

他们俩在巴黎不上课,只是一起工作。然而,无疑是通过和法国年轻数学家们的接触,特别是卡米尔·约当,这一对的注意力转向了伽罗华的群论。约当写的“置换论”专著那时刚刚出版,对这两个年轻人来说,这是“七重封缄的圣书”。继续引用克莱因的话“可我们跟达布最为亲近。那时法国数学的注意力转向了度量几何的新进展(逆变换,常用于研究无穷圆),这在德国还没人懂。突然看出它和我们自己线几何学的工作有着密切联系。。。对李来说,最有趣的可能是法国人研究的微分方程几何化理论。把这两个不同圈子的想法联系起来,李就发现了曲面上的曲率线和极小曲线之间的关系”

克莱因为这段时期写下了栩栩如生的描绘“1870年七月初某天,清晨我早早起床,打算出门,李还在床上,叫我来他的房间,开始向我解释夜间闪现的想法,曲率线和极小曲线的关系。我一个字都没听懂。不管怎样,他向我担保库默尔曲面上的极小曲线必然是16次代数曲线。上午我参观国立工艺学院时,突然想到,这必定就是我的一次二次线复量理论里出现的那个16次曲线,没有用李的变换方法,我立刻成功得出了几何证明。等我下午四点回去时,李已经出去了,我给他留了封信,写下我的证明。”

25,战争爆发,克莱因迅速离去,把他的挪威朋友留在法国,他们继续兴致盎然地通信交流数学,却没想到会给李带来什么即时后果。当李乖乖呆在巴黎时,什么事都没有,可是,在八月的高温下,他步行前往意大利,在枫丹白露被当成间谍逮住了,关了四个星期。直到,好吧,直到朋友达布解释清楚,李携带的那些难懂的(再加上克莱因臭名昭著难认的字迹)德语信只是无害的数学为止才放出来。

26.这一事件证明,即使在普法战争期间,他和他新结交的法国朋友之间的科学友谊仍旧没有中断,给克莱因留下了不可磨灭的印象。或者可以说,那个时代的科学界仍旧闪耀着骑士精神。1914年大战爆发时,克莱因同我们大多数人一样,对这一事态不可能有别的想法,然而正如他1870年的实际行动一样,他又被当时的爱国主义浪潮席卷而去。当他刚开始意识到纯粹的政治性灾难可能会对国际科学界关系产生怎样的威胁时,在某个不幸的时刻,他失落了凝重镇定的判断力,这种判断力本是他最鲜明的特质。有人打电话邀请他在一份文件上签名$,照他当时的印象,文件旨在呼吁欧洲科学家们在战争中保持中立态度,他轻率地同意了这个请求。直到这份文件连同他的签名——作为93人之一——出现在日报上时,他才看到了全文。此事对克莱因的国际声望损害极大,这份文件的要旨与他一生的根本基调南辕北辙,而他竟毫不犹豫地同意把他的名字列入支持者中。他太高傲,甚至停战之后,仍不肯公开收回他的签名。他希望他亲近的朋友明白并澄清真相,但对他自己,他觉得他的立场由他的一生而体现,并非体现在这个孤立又出于误会的行动上~。

$在一封1918.12.7的亲笔信中,他向我妻子解释此事,见她在《泰晤士报》1925.7.9发表的讣告。最后,克莱因终于同意将这封信的节选发表在柏林的一家日报上,同93人中大部分人或多或少基调一致的辩白一起发表

~1919.7.15,同样在给我妻子的信中,他如此结束:关于只能在充满相互攻讦的主观想法的报纸上了解的东西, 一般来说,我不能发表什么客观理性的意见。战争年代,我所能做的只有默默工作,所剩无几的余生里,我也将一直这样下去。

世界将会重回正轨,有朝一日,各个国家会再度团结起来。而当下,正如曾在巴别塔发生过的事那样,他们不再相互理解。

27.李比克莱因年长七岁,但他们的数学创造力差不多同时发展。李直到26岁才开始严肃地搞数学,而克莱因开始于20岁,他们初遇时,已经看过彼此的数学论文三年之久了。李第一篇出版的论文是1869年,论用∞^4实线空间来表示∞^4虚线平面,而克莱因的博士论文”线性齐次坐标下一般二次型变换到正则形式”在波恩于1868年12月出版。这两篇文章都受到了普吕克的启发;跟李很熟的恩格勒,甚至说李自称为普吕克的门徒,这肯定没有。恩格勒引用的那句话,显然是随意写的,而且不是李熟悉的语言,它肯定没有恩格勒想赋予它的意义。李的原话是“从普吕克门徒的视角来看,我的推广是很自然的。”人们很难不想到,这么随便写的一个普吕克的门徒,假使特指某个人,那也不是说李,而是克莱因。难以想象,李这样的挪威人,会像恩格勒所暗示的那样,会把自己的灵感来源全都归之于德国人普吕克。李对自己思想所有权的捍卫是出了名的,绝对不可能在任何意义上暗示自己的思想是二手货,正是在这点上他跟旧友克莱因吵了起来,在变换群论第三卷的前言里,他断然驳斥了他是克莱因门徒的想法;“不如说”他写“反过来才贴近现实”。克莱因理所当然地生气了。他慷慨大方的天性让他不可能有前者那样的想法,坦率健康的自信也使他不能接受后者。在我们这个世界上,误会最终得以澄清真是罕见的事。很令人高兴的是,克莱因和李的情形就是如此。克莱因在自传和数学论文集里真切动人地谈到他和李工作的交织时,毫无苦涩的口吻。我有幸可以在此添上一段出自克莱因夫人之手的描绘,她专为我这篇文章写下的。

“在数学同个人方面,我丈夫和李都是非常亲密的朋友。后来,李来莱比锡看我们,我也很喜欢他,一个强悍的北欧人,有着坦白直率的眼神和愉快的大笑,是个英雄人物,单因其在场,就令宵小之辈不敢现形。

后来他成了我丈夫在莱比锡的继任者,在那儿他患上了思乡病。我太理解他了!那么无拘无束的人,惯居在粗犷而美丽的北国,他哪儿受得了这充满烟雾的大城市,高楼大厦,狭小的街道,柔弱的萨克森人?他得了忧郁症,被送到疗养院,但住院却使他变得更糟了,因为他失去了自由,也无法工作。这样,在他的苦痛与怨愤当中,他想必写了一些恶意攻击的话,令我丈夫既难过又不明所以。

但是很快我丈夫就明白过来,他最好的朋友病了,不能为自己的行为负责。这个判断非但宽宏大量,充满善意,而且也是明智的。我的丈夫决心不卷入任何论战,等着事情平息下来。他没有看错他的友人。

一个夏天的傍晚,我们散步回家,那儿,在我们门前,坐着一个苍白的病人。“李!”我们惊喜地喊,这两个朋友握手,注视对方的眼睛,他们上次会面以来的所有事情都忘在脑后了。李同我们住了一天,这位亲爱的朋友,他也变样了。每当我想起他悲剧的命运时,总是不能不动感情。很快,他去世了,但在那之前,挪威人像对待国王一样礼遇这位伟大的数学家。”

我们再补充最后一句,外貌上,克莱因非常高挑笔挺纤细,浓密的棕色鬈发,典型泛着闪光的淡蓝眼睛,带着诚挚的凝视,可惜此处的照片未能反映出来。

                                                                                              W.H.Y

【W.H.Y先生原本的附图是下面这张,不过我私心在开头塞了一张年轻的】

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