二分查找（Binary Search）算法，也叫折半查找算法。二分查找的思想非常简单，很多非计算机专业的同学很容易就能理解，但是看似越简单的东西往往越难掌握好，想要灵活应用就更加困难。
无处不在的二分思想
举个例子：我们假设只有 10 个订单，订单金额分别是：8，11，19，23，27，33，45，55，67，98。 还是利用二分思想，每次都与区间的中间数据比对大小，缩小查找区间的范围。为了更加直观，我画了一张查找过程的图。其中，low 和 high 表示待查找区间的下标，mid 表示待查找区间的中间元素下标。
总结一下：二分查找针对的是一个有序的数据集合，查找思想有点类似分治思想。每次都通过跟区间的中间元素对比，将待查找的区间缩小为之前的一半，直到找到要查找的元素，或者区间被缩小为 0。
O(logn) 惊人的查找速度
二分查找是一种非常高效的查找算法，高效到什么程度呢？我们来分析一下它的时间复杂度。
我们假设数据大小是 n，每次查找后数据都会缩小为原来的一半，也就是会除以 2。最坏情况下，直到查找区间被缩小为空，才停止。
可以看出来，这是一个等比数列。其中 n/2k=1 时，k 的值就是总共缩小的次数。而每一次缩小操作只涉及两个数据的大小比较，所以，经过了 k 次区间缩小操作，时间复杂度就是 O(k)。通过 n/2k=1，我们可以求得 k=log2n，所以时间复杂度就是 O(logn)。
这是一种极其高效的时间复杂度，有的时候甚至比时间复杂度是常量级 O(1) 的算法还要高效。为什么这么说呢？
因为logn 是一个非常“恐怖”的数量级，即便n非常非常大，对应的logn也很小。比如n等于2的32次方，这个数很大了吧?大约是42亿。也就是说，如果我们在42亿个数据中用二分查找一个数据，最多需要比较32次。
我们前面讲过，用大0标记法表示时间复杂度的时候，会省略掉常数、系数和低阶。对于常量级时间复杂度的算法来说，0(1) 有可能表示的是一个非常大的常量值，比如O(1000)、O(10000)。 所以，常量级时间复杂度的算法有时候可能还没有O(logn) 的算法执行效率高。
二分查找的递归与非递归实现
实际上，简单的二分查找并不难写，注意我这里的“简单”二字。下一节，我们会讲到二分查找的变体问题，那才是真正烧脑的。今天，我们来看如何来写最简单的二分查找。
最简单的情况就是有序数组中不存在重复元素，我们在其中用二分查找值等于给定值的数据。我用IOS代码实现了一个最简单的二分查找算法。
- (NSInteger)gly_bsearchWithLoop:(NSString *)propertyName value:(double)value
{
NSInteger low = 0;
NSInteger high = self.count - 1;
while (low <= high)
{
//为什么不写(low + high) / 2，是因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。
NSInteger mid = low + ((high - low) >> 1);
double middleNumber = [[self[mid] valueForKey:propertyName] doubleValue];
if ([@(middleNumber) compare:@(value)] == NSOrderedSame)
{
return mid;
}
else if ([@(middleNumber) compare:@(value)] == NSOrderedAscending)
{
low = mid + 1;
}
else
{
high = mid - 1;
}
}
return -1;
}
这个代码我稍微解释一下，low、high、mid 都是指数组下标，其中 low 和 high 表示当前查找的区间范围，初始 low=0， high=n-1。mid 表示 [low, high] 的中间位置。我们通过对比 self[mid] 与value 的大小，来更新接下来要查找的区间范围，直到找到或者区间缩小为 0。我就着重强调一下容易出错的 3 个地方。
1. 循环退出条件
注意是 low <= high，而不是 low < high。
2.mid的取值
实际上，mid=(low+high)/2 这种写法是有问题的。因为如果low和high比较大的话，两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将mid的计算方式写成low+(high- -low)/2。更进一步，如果要将性能优化到极致的话，我们可以将这里的除以2操作转化成位运算low+((high-low)>>1)。因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。
3.low和high的更新
low=mid+1, high=mid-1。 注意这里的+1和-1,如果直接写成low=mid或者high=mid,就可能,会发生死循环。比如，当high=3, low=3 时，如果a[3]不等于value,就会导致一直循环不退出。
如果你留意我刚讲的这三点，我想一个简单的二分查找你已经可以实现了。实际上，二分查找除了用循环来实现，还可以用递归来实现，过程也非常简单。
- (NSInteger)gly_bsearchWithRecursion:(NSString *)propertyName value:(double)value
{
return [self gly_bsearchInternally:propertyName value:value low:0 high:self.count - 1];
}
- (NSInteger)gly_bsearchInternally:(NSString *)propertyName value:(double)value low:(NSInteger)low high:(NSInteger)high
{
if (low > high)
{
return -1;
}
//因为相比除法运算来说，计算机处理位运算要快得多。这里也等同于（NSInteger mid = low + (high - low) / 2）
NSInteger mid = low + ((high - low) >> 1);
double middleNumber = [[self[mid] valueForKey:propertyName] doubleValue];
if ([@(middleNumber) compare:@(value)] == NSOrderedSame)
{
return mid;
}
else if ([@(middleNumber) compare:@(value)] == NSOrderedAscending)
{
return [self gly_bsearchInternally:propertyName value:value low:mid + 1 high:high];
}
else
{
return [self gly_bsearchInternally:propertyName value:value low:low high:mid - 1];
}
}
二分查找应用场景的局限性
前面我们分析过，二分查找的时间复杂度是O(logn),查找数据的效率非常高。不过，并不是什么情况下都可以用二分查找，它的应用场景是有很大局限性的。那什么情况下适合用二分查找，什么情况下不适合呢?
首先，二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组。
那二分查找能否依赖其他数据结构呢?比如链表。答案是不可以的，主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。我们在数组和链表那两节讲过，数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是0(1)，而链表随机访问的时间复杂度是O(n)。所以，如果数据使用链表存储，- -分查找的时间复杂就会变得很高。
二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。如果你的数据是通过其他数据结构存储的，则无法应用二分查找。
其次，二分查找针对的是有序数据。
二分查找对这一点的要求比较苛刻，数据必须是有序的。如果数据没有序，我们需要先排序。前面章节里我们讲到，排序的时间复杂度最低O(nlogn)，所以，如果我们针对的是-组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊,二分查找的边际成本就会比较低。
但是，如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。
所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一 次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。那针对动态数据集合，如何在其中快速查找某个数据呢?别急，等到二叉树那一节我会详细讲。
再次，数据量太小不适合二分查找。
如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为10的数组中查找一个元素， 不管用二分查找还是顺序遍历，查找速度都差不多。只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。
不过，这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，我都推荐使用二分查找。比如，数组中存储的都是长度超过300的字符串，如此长的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。我们需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。
最后，数据量太大也不适合二分查找。
二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。比如，我们有1GB大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要1GB的连续内存空间。
注意这里的“连续”二字，也就是说，即便有2GB的内存空间剩余，但是如果这剩余的2GB内存空间都是零散的，没有连续的1GB大小的内存空间，那照样无法申请一个1GB大小的数组。而我们的二分查找是作用在数组这种数据结构之上的，所以太大的数据用数组存储就比较吃力了，也就不能用二分查找了。
但是，上面介绍的只是最简单的一种二分查找的代码实现。接下来我们来讲几种二分查找的变形问题。
你可能会说，我们上面学的二分查找的代码实现并不难写啊。那是因为上面讲的只是二分查找中最简单的一种情况，在不存在重复元素的有序数组中，查找值等于给定值的元素。最简单的二分查找写起来确实不难，但是，二分查找的变形问题就没那么好写了。
二分查找的变形问题很多，我只选择几个典型的来讲解，其他的你可以借助我今天讲的思路自己来分析。
变体一：查找第一个值等于给定值的元素
前面中的二分查找是最简单的一种，即有序数据集合中不存在重复的数据，我们在其中查找值等于某个给定值的数据。如果我们将这个问题稍微修改下，有序数据集合中存在重复的数据，我们希望找到第一个值等于给定值的数据，这样之前的二分查找代码还能继续工作吗?
比如下面这样一个有序数组， 其中，a[5], a[6]， a[7] 的值都等于8,是重复的数据。我们希望查找第一个等于8的数据，也就是下标是5的元素。
如果我们用前面讲的二分查找的代码实现，首先拿8与区间的中间值a[4]比较，8比6大，于是在下标5到9之间继续查找。下标5和9的中间位置是下标7,a[7]正好等于8，所以代码就返回了。
尽管a[7]也等于8,但它并不是我们想要找的第一个等于8的元素，因为第一个值等于8的元素是数组下标为5的元素。我们前面讲的二分查找代码就无法处理这种情况了。所以，针对这个变形问题，我们可以稍微改造一下前面的代码。
100个人写二分查找就会有100种写法。网上有很多关于变形二分查找的实现方法，有很多写得非常简洁，比如下面这个写法。但是，尽管简洁，理解起来却非常烧脑，也很容易写错。
- (NSInteger)gly_bsearchFirstItemWithLoop:(NSString *)propertyName value:(double)value
{
NSInteger low = 0;
NSInteger high = self.count - 1;
while (low <= high)
{
//为什么不写(low + high) / 2，是因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。
NSInteger mid = low + ((high - low) >> 1);
double middleNumber = [[self[mid] valueForKey:propertyName] doubleValue];
if ([@(middleNumber) compare:@(value)] == NSOrderedDescending)
{
high = mid - 1;
}
else if ([@(middleNumber) compare:@(value)] == NSOrderedAscending)
{
low = mid + 1;
}
else
{
if (mid == 0 || [@([[self[mid - 1] valueForKey:propertyName] doubleValue]) compare:@(value)] != NSOrderedSame)
{
return mid;
}
else
{
high = mid - 1;
}
}
}
return -1;
}
我来稍微解释一下 这段代码。self[mid] 跟要查找的value的大小关系有三种情况:大于、小于、等于。对于self[mid]>value的情况，我们需要更新high= mid-1;对于self[mid]<value的情况，我们需要更新low=mid+1。这两点都很好理解。那当self[mid]=value的时候应该如何处理呢?
如果我们查找的是任意一个值等于给定值的元素，当self[mid]等于要查找的值时，self[mid] 就是我们要找的元素。但是，如果我们求解的是第一个值等于给定值的元素，当self[mid]等于要查找的值时，我们就需要确认一下这个self[mid]是不是第一个值等于给定值的元素。
我们重点看一下if (mid == 0 || [@([[self[mid - 1] valueForKey:propertyName] doubleValue]) compare:@(value)] != NSOrderedSame)。如果mid等于0，那这个元素已经是数组的第一个元素，那它肯定是我们要找的;如果mid不等于0,但self[mid]的前一个元素self[mid-1]不等于value,那也说明self[mid]就是我们要找的第一个值等于给定值的元素。
如果经过检查之后发现self[mid]前面的一个元素self[mid-1]也等于value,那说明此时的self[mid]肯定不是我们要查找的第一一个值等于给定值的元素。那我们就更新high=mid-1,因为要找的元素肯定出现在[low, mid-1]之间。
对比上面的两段代码，是不是下面那种更好理解?实际上，很多人都觉得变形的二分查找很难写,主要原因是太追求第一种那样完美、简洁的写法。而对于我们做工程开发的人来说，代码易读懂、没Bug,其实更重要，所以我觉得第二种写法更好。
变体二：查找最后一个值等于给定值的元素
前面的问题是查找第一个值等于给定值的元素，我现在把问题稍微改一下，查找最后一个值等于给定值的元素，又该如何做呢？如果你掌握了前面的写法，那这个问题你应该很轻松就能解决。你可以先试着实现一下，然后跟我写的对比一下。
- (NSInteger)gly_bsearchLastItemWithLoop:(NSString *)propertyName value:(double)value
{
NSInteger low = 0;
NSInteger high = self.count - 1;
while (low <= high)
{
//为什么不写(low + high) / 2，是因为如果 low 和 high 比较大的话，两者之和就有可能会溢出。
NSInteger mid = low + ((high - low) >> 1);
double middleNumber = [[self[mid] valueForKey:propertyName] doubleValue];
if ([@(middleNumber) compare:@(value)] == NSOrderedDescending)
{
high = mid - 1;
}
else if ([@(middleNumber) compare:@(value)] == NSOrderedAscending)
{
low = mid + 1;
}
else
{
if (mid == self.count - 1 || [@([[self[mid + 1] valueForKey:propertyName] doubleValue]) compare:@(value)] != NSOrderedSame)
{
return mid;
}
else
{
low = mid + 1;
}
}
}
return -1;
}
我们还是重点看第11行代码。如果a[mid]这个元素已经是数组中的最后一个元素了，那它肯定是我们要找的;如果a[mid]的后一个元素a[mid+1]不等于value,那也说明a[mid]就是我们要找的最后一个值等于给定值的元素。
如果我们经过检查之后，发现a[mid]后面的一个元素a[mid+1]也等于value,那说明当前的这个a[mid]并不是最后一个值等于给定值的元素。我们就更新low=mid+1,因为要找的元素肯定出现在[mid+1, high]之间。
变体三:查找第一个大于等于给定值的元素
现在我们再来看另外- -类变形问题。在有序数组中，查找第一个大于等 于给定值的元素。比如，数组中存储的这样一个序列: 3, 4，6，7, 10。如果查找第一个大于等于5的元素，那就是6。
实际上，实现的思路跟前面的那两种变形问题的实现思路类似，代码写起来甚至更简洁。
- (NSInteger)gly_bsearchMoreWithLoop:(NSString *)propertyName value:(double)value
{
NSInteger low = 0;
NSInteger high = self.count - 1;
while (low <= high)
{
NSInteger mid = low + ((high - low) >> 1);
double middleNumber = [[self[mid] valueForKey:propertyName] doubleValue];
if ([@(middleNumber) compare:@(value)] == NSOrderedAscending)
{
low = mid + 1;
}
else
{
if (mid == 0 || [@([[self[mid - 1] valueForKey:propertyName] doubleValue]) compare:@(value)] == NSOrderedAscending)
{
return mid;
}
else
{
high = mid - 1;
}
}
}
return -1;
}
如果self[mid]小于要查找的值value,那要查找的值肯定在[mid+1, high]之间，所以，我们更新low=mid+1。
对于self[mid]大于等于给定值value的情况，我们要先看下这个self[mid]是不是我们要找的第一个值大于等于给定值的元素。如果a[mid]前面已经没有元素，或者前面一个元素小于要查找的值value,那self[mid]就是我们要找的元素。这段逻辑对应的代码是if (mid == 0 || [@([[self[mid - 1] valueForKey:propertyName] doubleValue]) compare:@(value)] == NSOrderedAscending)这行。
如果self[mid-1]也大于等于要查找的值value,那说明要查找的元素在[low, mid-1]之间，所以,我们将high更新为mid-1。
变体四:查找最后一个小于等于给定值的元素
现在，我们来看最后一种二分查找的变形问题，查找最后一个小于等于给定值的元素。比如，数组中存储了这样一组数据: 3, 5, 6, 8, 9, 10。最后一一个小于等于7的元素就是6。是不是有点类似上面那一种?实际上，实现思路也是一样的。
有了前面的基础，你完全可以自己写出来了，所以我就不详细分析了。我把代码贴出来，你可以写完之后对比一下。
- (NSInteger)gly_bsearchLessWithLoop:(NSString *)propertyName value:(double)value
{
NSInteger low = 0;
NSInteger high = self.count - 1;
while (low <= high)
{
NSInteger mid = low + ((high - low) >> 1);
double middleNumber = [[self[mid] valueForKey:propertyName] doubleValue];
if ([@(middleNumber) compare:@(value)] == NSOrderedDescending)
{
high = mid - 1;
}
else
{
if (mid == self.count - 1 || [@([[self[mid + 1] valueForKey:propertyName] doubleValue]) compare:@(value)] == NSOrderedDescending)
{
return mid;
}
else
{
low = mid + 1;
}
}
}
return -1;
}
内容小结
前面我说过，凡是用二分查找能解决的，绝大部分我们更倾向于用散列表或者二叉查找树。即便是二分查找在内存使用上更节省，但是毕竟内存如此紧缺的情况并不多。那二分查找真的没什么用处了吗?
实际上，前面讲的求“值等于给定值”的二分查找确实不怎么会被用到，二分查找更适合用在“近似”查找问题，在这类问题上，二分查找的优势更加明显。比如今天讲的这几种变体问题，用其他数据结构，比如散列表、二叉树，就比较难实现了。
变体的二分查找算法写起来非常烧脑，很容易因为细节处理不好而产生Bug，这些容易出错的细节有:终止条件、区间上下界更新方法、返回值选择。所以今天的内容你最好能用自己实现一遍，对锻炼编码能力、逻辑思维、写出Bug free代码，会很有帮助。
最后：
自己写了一个NSArray+GLYLookup算法分类，只需1行代码，即可完成快速查找。
