面试算法知识梳理(5) - 数组第二部分

96
泽毛
2017.12.11 19:04* 字数 1431

面试算法代码知识梳理系列

面试算法知识梳理(1) - 排序算法
面试算法知识梳理(2) - 字符串算法第一部分
面试算法知识梳理(3) - 字符串算法第二部分
面试算法知识梳理(4) - 数组第一部分
面试算法知识梳理(5) - 数组第二部分
面试算法知识梳理(6) - 数组第三部分
面试算法知识梳理(7) - 数组第四部分
面试算法知识梳理(8) - 二分查找算法及其变型
面试算法知识梳理(9) - 链表算法第一部分
面试算法知识梳理(10) - 二叉查找树
面试算法知识梳理(11) - 二叉树算法第一部分
面试算法知识梳理(12) - 二叉树算法第二部分
面试算法知识梳理(13) - 二叉树算法第三部分


一、概要

本文介绍了有关数组的算法第二部分的Java代码实现,所有代码均可通过 在线编译器 直接运行,算法目录:

  • 找到最小的k个数
  • 连续子数组的最大和
  • 连续子数组的最大和(二维)
  • 求数组当中的逆序对

二、代码实现

2.1 找到最小的 k 个数

问题描述

即寻找一列数中最小的k个数

解决思路

利用最大堆的特点,加入我们对一个长度为N的数组p的前k个元素进行建堆操作,那么p[0]p[0,..,k-1]的最大值,之后再对p[k,..,N-1]依次遍历:

  • 如果p[i]小于p[0],那么就说明它属于p[0,..,i]最小的K个元素之一,而p[0]则一定不属于p[0,..,N-1]的最小的k个元素,此时将p[i]p[0]交换,重新对[0,..,N-1]的部分进行建堆操作
  • 如果p[i]大于等于p[0],那么就说明p[i]一定不属于p中最小的k个元素,因此忽略

直到i遍历到N-1为止,此时p[0,..,k-1]就是数组p最小的K个元素。

代码实现

class Untitled {
    
    static void maxHeapify(int p[], int di, int length){
        int li = (di<<1)+1;
        int t = p[di];
        while (li < length) {
            if (li+1 < length && p[li+1] > p[li])
                li++;
            if (p[di] >= p[li])
                break;
            p[di] = p[li];
            di = li;
            li = (di<<1)+1;
        }
        p[di] = t;
    }

    static void buildMaxHeap(int p[], int length){
        for(int i=(length>>1)-1; i >= 0; i--){
            maxHeapify(p, i, length);
        }
    }
    
    static void minKthNum(int p[] ,int k, int length) {
        buildMaxHeap(p,k);
        int t;
        for (int i=k; i < length; i++) {
            if (p[i] < p[0]) {
                t = p[0]; p[0] = p[i]; p[i] = t;
                maxHeapify(p, 0, k);
            }
        }
    }
        
    public static void main(String[] args) {
        int p[] = new int[]{2, 3, 10, 2, 5, 6, 7, 20, 1, -5};
        minKthNum(p, 3, p.length);
        for (int i=0; i < 3; i++) {
            System.out.println(String.valueOf(p[i]));
        }
    }
}

运行结果

>> 2
>> 1
>> -5

2.2 连续字数组的最大和

问题描述

数组中的元素有正有负,在该数组中找出一个连续子数组,要求该连续子数组中各元素的和最大,这个连续子数组便被称作最大连续子数组。比如数组{2,4,-7,5,2,-1,2,-4,3}的最大连续子数组为{5,2,-1,2},最大连续子数组的和为5+2-1+2=8

解决思路

通过对数组中的元素进行线性的遍历,并对每个元素进行累加,当发现目前为止累加的和maxendinghere小于0时,则说明最大的连续子数组不可能包含目前遍历到的子数组,那么就从下一个元素tmaxbegin开始计算子数组。

在遍历的过程中更新目前位置获得的最大连续子数组的和maxsofar,以及起止位置maxbeginmaxend

代码实现

class Untitled {

    static void maxSumSubArray(int p[], int length){
        int maxendinghere = 0;
        int maxsofar = 0;
        int maxbegin = 0;
        int maxend = 0;
        int tmaxbegin = 0;
        //从0开始遍历数组。
        for(int i = 0; i < length; i++){
            //maxendinghere 记录当前计算子数组的和。
            maxendinghere += p[i];
            //如果该和小于0,那么重新计算。
            if(maxendinghere < 0){
                maxendinghere = 0;
                tmaxbegin = i+1;
            }
            //更新目前为止计算到的最大值。
            if(maxsofar < maxendinghere){
                maxbegin = tmaxbegin;
                maxend = i;
                maxsofar = maxendinghere;
            }
        }
        //考虑数组全部是负数的情况
        if(maxsofar == 0){
            maxsofar = p[0];
            for(int i = 1; i < length; i++){
                if(p[i] > maxsofar){
                    maxsofar = p[i];
                    maxbegin = i;
                    maxend = i;
                }
            }
        }
        for (int i = maxbegin; i <= maxend; i++) {
            System.out.println("i=" + p[i]);
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        int p[] = new int[]{2,4,-7,5,2,-1,2,-4,3};
        maxSumSubArray(p, p.length);
    }
}

运行结果

> i=5
> i=2
> i=-1
> i=2

2.3 连续子数组的最大和(二维)

问题描述

这个问题其实是2.2的变种,这时候输入是一个二维的矩阵,需要找到一个子矩阵,该子矩阵的和是这个二维的所有子矩阵中最大的。

解决思路

二维的问题和2.2中的一维问题的核心解决思路相同。

对于二维情况,我们将 同一列的多个元素合并成一个元素 来实现降维的效果,为了能实现在O(1)的时间内计算出同一列的多行元素之和,需要构建一个辅助数组,该辅助数组ps[i][j]的值,等于原输入数组pp[0][0]为左上角到p[i][j]为右下角构成的子矩阵的所有元素之和,通过该辅助数组就能在O(1)的时间内计算出lRowhRow行之间第col列的所有元素之和,计算公式为:

ps[hRow][col] - ps[hRow][col-1] - ps[lRow-1][col] + ps[lRow-1][col-1]

代码实现

class Untitled {
    
    //计算从lRow到hRow之间,位于第col列的所有元素之和。
    static int getColsum(int ps[][], int lRow, int hRow, int col) {
        return ps[hRow][col] - ps[hRow][col-1] - ps[lRow-1][col] + ps[lRow-1][col-1];
    }

    static void maxSumSubArray2(int p[][], int xlen, int ylen){
        int maxendinghere = 0;
        int maxsofar = 0;
        int tColbegin = 1;
        int sx = 0;
        int sy = 0;
        int ex = 0;
        int ey = 0;
        //初始化辅助数组,ps[i][j]为以其为右下角的子矩阵的所有元素之和。
        int psxLen = xlen+1;
        int psyLen = ylen+1;
        int[][] ps = new int[psxLen][psyLen];
        for (int j = 0; j < psyLen; j++)
            ps[0][j] = 0;
        for (int i = 0; i < psxLen; i++)
            ps[i][0] = 0;
        for (int i = 1; i < psxLen; i++) {
            for(int j = 1; j < psyLen; j++) {
                ps[i][j] = ps[i-1][j] + ps[i][j-1] - ps[i-1][j-1] + p[i-1][j-1];
            }
        }
        //求矩阵中的最大和,将位于同一个列的多行元素合并成一个元素,因此需要遍历包含不同行的情况。
        for (int pStartRow = 1; pStartRow < psxLen; pStartRow++) { 
            for (int pEndRow = pStartRow; pEndRow < psxLen; pEndRow++) {
                for (int pCol = 1; pCol < psyLen; pCol++) {
                    maxendinghere += getColsum(ps, pStartRow, pEndRow, pCol);
                    if (maxendinghere < 0) {
                        maxendinghere = 0;
                        tColbegin = pCol+1;
                    }
                    if (maxsofar < maxendinghere) {
                        maxsofar = maxendinghere;
                        sx = pStartRow - 1;
                        sy = tColbegin - 1;
                        ex = pEndRow - 1;
                        ey = pCol - 1;
                    }
                }
                maxendinghere = 0;
                tColbegin = 1;
            }
        }
        System.out.println("最大和=" + maxsofar + ",起始行=" + sx + ",终止行=" + ex + ",起始列=" + sy + ",终止列=" + ey);
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[][] p = {{1,-10,-11}, {4,5,6}, {7,8,9}};
        maxSumSubArray2(p, 3, 3);
    }
}

运行结果

>> 最大和=39,起始行=1,终止行=2,起始列=0,终止列=2

2.4 求数组中的逆序对

问题描述

在数组中的两个数字,如果 前面一个数字大于后面的数字,则这两个数字组成一个 逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数。

解决思路

这里采用的是 归并算法 的思想,归并算法包含三个关键步骤:

  • 分解:把长度为n的待排序列分解成两个长度为n/2的序列。
  • 治理:对每个子序列分别调用归并排序,进行递归操作。当子序列长度为1时,序列本身有序,停止递归。
  • 合并:合并每个排序好的子序列。

对于上面的例子,我们将整个数组分解为A、B两部分,则整个数组的逆序对个数就等于:

A部分组成的数组的逆序对 + B部分组成的数组的逆序对 + A与B之间的逆序对

这里有一个关键的点,就是需要保证在计算AB之间的逆序对时,AB内的元素都是有序的。

class Untitled {
    
    static int inversePairs(int p[], int startIndex, int endIndex) {
        if (endIndex == startIndex) {
            return 0;
        }
        if (endIndex-startIndex == 1) {
            if (p[endIndex] < p[startIndex]) {
                int temp = p[startIndex];
                p[startIndex] = p[endIndex];
                p[endIndex] = temp;
                return 1;
            } else {
                return 0;
            }
        }
        int midOffset = (endIndex-startIndex) >> 1;
        int l = inversePairs(p, startIndex, startIndex+midOffset);
        int r = inversePairs(p, startIndex+midOffset+1, endIndex);
        return l + r + inverseCore(p, startIndex, midOffset, endIndex);
    }
    
    static int inverseCore(int p[], int startIndex, int midOffset, int endIndex) {
        int totalLen = endIndex-startIndex+1;
        int lLen = midOffset+1;
        int rLen = totalLen-lLen;
        int l[] = new int[lLen+1];
        int r[] = new int[rLen+1];
        int i = 0;
        for (i=0; i<lLen; i++) {
            l[i] = p[startIndex+i];
        }
        l[i] = 1 << 30;
        for (i=0; i<rLen; i++) {
            r[i] = p[startIndex+lLen+i];
        }
        r[i] = 1 << 30;
        int c = 0;
        i = 0;
        int m = 0;
        int n = 0;
        while(i < totalLen) {
            if (r[n] <= l[m]) {
                p[startIndex+i] = r[n];
                c += (lLen - m);
                n++;
                i++;
            } else {
                p[startIndex+i] = l[m];
                m++;
                i++;
            }
        }
        return c;
    }
    public static void main(String[] args) {
        int[] p = {7,5,6,4};
        System.out.println("Inverse Count=" + inversePairs(p, 0, 3));
    }
}

运行结果

>> Inverse Count=5

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