数字图像本质就是一种信号，那信号自然就有频率。在数字图像中，频率就是指灰度变化的速度。并且数字图像信号是离散的，那么要分析频率域时，就要用到离散傅里叶变换及其逆变换之类的。本文公式主要来自《冈萨雷斯》。
某知乎大神做的图
前言
如果读者跟我一样，是EE专业出身的学生（电子、电气、自动化、通信），学过复变函数、信号与系统之类的课程，那么理论部分可以直接去看《冈萨雷斯》的第四章频率域滤波。因为有相关基础，就算不能完全看懂也能半懂。
如果读者是其它专业出身，比如计算机类和机械类专业，那对这方面的理解可能就会不太容易（信号之类的课程应该是选修？），因为对傅里叶变换的理解可能会有所欠缺。当年要用到傅里叶变换的时候（不是用在图像上），还没有学到相关课程，那个时候可是让我抓耳挠腮。不过很幸运阅读了知乎大神Heinrich的文章，很快就对傅里叶变换有了初步了解，在这里推荐一下。
傅里叶变换
在连续的情况下，傅里叶变换和逆变换很简洁，公式如下
傅里叶变换
反变换
由欧拉公式，傅里叶变换可以写成这样。其中，正弦项的频率由μ决定
欧拉公式 + 傅里叶变换
在离散的情况下，公式如下，也很好理解
正变换
逆变换
上面的都是一维的情况。显然，图像是二维的，于是要推广到二维的傅里叶变换。类似，连续情况下傅里叶变换公式如下
二维傅里叶变换
二维傅里叶逆变换
离散的情况如下。其中图像为M*N的图像。
DFT
IDFT
二维DFT一般是复函数，用极坐标来表示如下
极坐标形式
取幅度就得到了被称为傅里叶谱或者频谱的玩意
幅度
计算一下反正切就得到了相角。
相角
因为是二维信号，所以频谱和相角都是二维的。其中相角包含了频率的位置信息。总的来说，图像经过DFT之后得到了频谱和相角。我们在分析的时候，一般只看频谱。但如果要进行逆变换，就同时需要频谱和相角的信息，才能正确还原图像。
频率域滤波
频率域滤波的基本公式如下。H为频率域上的滤波函数。
频率域滤波公式
常见的频率域滤波函数有理想高低通滤波器、布特沃斯滤波器、高斯滤波器。其中前面两者的滤波效果会发生振铃现象。这里的代码实现只搞下高斯滤波。
高斯低通滤波
中间高四周低，高频被滤除
高斯高通滤波
低频被滤除
编程实现
opencv有用于离散傅里叶变换和逆变换的函数，但还是要稍微处理一些细节，并且频率域的滤波需要自己去编写。
/********************************************************************
* Created by 杨帮杰 on 12/8/2018
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* warranty, support or any guarantee of it working
* E-mail: yangbangjie1998@qq.com
* Association: SCAU 华南农业大学
********************************************************************/
#include <iostream>
#include <vector>
#include <opencv2/core.hpp>
#include <opencv2/imgproc.hpp>
#include <opencv2/highgui.hpp>
#include <opencv2/features2d.hpp>
#include <opencv2/xfeatures2d.hpp>
#include <opencv2/calib3d.hpp>
#define IMG_PATH "//home//jacob//图片//lenna.jpg"
using namespace std;
using namespace cv;
int main()
{
Mat inputImg = imread(IMG_PATH, IMREAD_GRAYSCALE);
if(inputImg.empty())
{
cout << "图片没读到，傻逼！" << endl;
return -1;
}
//得到DFT的最佳尺寸（2的指数），以加速计算
Mat paddedImg;
int m = getOptimalDFTSize(inputImg.rows);
int n = getOptimalDFTSize(inputImg.cols);
cout << "图片原始尺寸为：" << inputImg.cols << "*" << inputImg.rows <<endl;
cout << "DFT最佳尺寸为：" << n << "*" << m <<endl;
//填充图像的下端和右端
copyMakeBorder(inputImg, paddedImg, 0, m - inputImg.rows,
0, n - inputImg.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));
//将填充的图像组成一个复数的二维数组（两个通道的Mat），用于DFT
Mat matArray[] = {Mat_<float>(paddedImg), Mat::zeros(paddedImg.size(), CV_32F)};
Mat complexInput, complexOutput;
merge(matArray, 2, complexInput);
dft(complexInput, complexOutput);
//计算幅度谱（傅里叶谱）
split(complexOutput, matArray);
Mat magImg;
magnitude(matArray[0], matArray[1], magImg);
//转换到对数坐标
magImg += Scalar::all(1);
log(magImg, magImg);
//将频谱图像裁剪成偶数并将低频部分放到图像中心
int width = (magImg.cols / 2)*2;
int height = (magImg.cols / 2)*2;
magImg = magImg(Rect(0, 0, width, height));
int colToCut = magImg.cols/2;
int rowToCut = magImg.rows/2;
//获取图像，分别为左上右上左下右下
//注意这种方式得到的是magImg的ROI的引用
//对下面四幅图像进行修改就是直接对magImg进行了修改
Mat topLeftImg(magImg, Rect(0, 0, colToCut, rowToCut));
Mat topRightImg(magImg, Rect(colToCut, 0, colToCut, rowToCut));
Mat bottomLeftImg(magImg, Rect(0, rowToCut, colToCut, rowToCut));
Mat bottomRightImg(magImg, Rect(colToCut, rowToCut, colToCut, rowToCut));
//第二象限和第四象限进行交换
Mat tmpImg;
topLeftImg.copyTo(tmpImg);
bottomRightImg.copyTo(topLeftImg);
tmpImg.copyTo(bottomRightImg);
//第一象限和第三象限进行交换
bottomLeftImg.copyTo(tmpImg);
topRightImg.copyTo(bottomLeftImg);
tmpImg.copyTo(topRightImg);
//归一化图像
normalize(magImg, magImg, 0, 1, CV_MINMAX);
//傅里叶反变换
Mat complexIDFT, IDFTImg;
idft(complexOutput, complexIDFT);
split(complexIDFT, matArray);
magnitude(matArray[0], matArray[1], IDFTImg);
normalize(IDFTImg, IDFTImg, 0, 1, CV_MINMAX);
imshow("输入图像", inputImg);
imshow("频谱图像", magImg);
imshow("反变换图像", IDFTImg);
/***********************频率域滤波部分*************************/
//高斯低通滤波函数（中间高两边低）
Mat gaussianBlur(paddedImg.size(),CV_32FC2);
//高斯高通滤波函数（中间低两边高）
Mat gaussianSharpen(paddedImg.size(),CV_32FC2);
double D0=2*10*10*10;
for(int i=0;i<paddedImg.rows;i++)
{
float*p=gaussianBlur.ptr<float>(i);
float*q=gaussianSharpen.ptr<float>(i);
for(int j=0;j<paddedImg.cols;j++)
{
double d=pow(i-paddedImg.rows/2,2)+pow(j-paddedImg.cols/2,2);
p[2*j]=expf(-d/D0);
p[2*j+1]=expf(-d/D0);
q[2*j]=1-expf(-d/D0);
q[2*j+1]=1-expf(-d/D0);
}
}
//将实部和虚部按照频谱图的方式换位
//低频在图像中心，用于滤波
split(complexOutput, matArray);
//matArray[0]表示DFT的实部
Mat q1(matArray[0], Rect(0, 0, colToCut, rowToCut));
Mat q2(matArray[0], Rect(colToCut, 0, colToCut, rowToCut));
Mat q3(matArray[0], Rect(0, rowToCut, colToCut, rowToCut));
Mat q4(matArray[0], Rect(colToCut, rowToCut, colToCut, rowToCut));
//第二象限和第四象限进行交换
q1.copyTo(tmpImg);
q4.copyTo(q1);
tmpImg.copyTo(q4);
//第一象限和第三象限进行交换
q2.copyTo(tmpImg);
q3.copyTo(q2);
tmpImg.copyTo(q3);
//matArray[1]表示DFT的虚部
Mat qq1(matArray[1], Rect(0, 0, colToCut, rowToCut));
Mat qq2(matArray[1], Rect(colToCut, 0, colToCut, rowToCut));
Mat qq3(matArray[1], Rect(0, rowToCut, colToCut, rowToCut));
Mat qq4(matArray[1], Rect(colToCut, rowToCut, colToCut, rowToCut));
//第二象限和第四象限进行交换
qq1.copyTo(tmpImg);
qq4.copyTo(qq1);
tmpImg.copyTo(qq4);
//第一象限和第三象限进行交换
qq2.copyTo(tmpImg);
qq3.copyTo(qq2);
tmpImg.copyTo(qq3);
merge(matArray, 2, complexOutput);
//滤波器和DFT结果相乘（矩阵内积）
multiply(complexOutput,gaussianBlur,gaussianBlur);
multiply(complexOutput,gaussianSharpen,gaussianSharpen);
//计算频谱
split(gaussianBlur,matArray);
magnitude(matArray[0],matArray[1],magImg);
magImg+=Scalar::all(1);
log(magImg,magImg);
normalize(magImg,magImg,1,0,CV_MINMAX);
imshow("高斯低通滤波频谱",magImg);
split(gaussianSharpen,matArray);
magnitude(matArray[0],matArray[1],magImg);
magImg+=Scalar::all(1);
log(magImg,magImg);
normalize(magImg,magImg,1,0,CV_MINMAX);
imshow("高斯高通滤波频谱",magImg);
//IDFT得到滤波结果
Mat gaussianBlurImg;
idft(gaussianBlur, complexIDFT);
split(complexIDFT, matArray);
magnitude(matArray[0], matArray[1], gaussianBlurImg);
normalize(gaussianBlurImg, gaussianBlurImg, 0, 1, CV_MINMAX);
Mat gaussianSharpenImg;
idft(gaussianSharpen, complexIDFT);
split(complexIDFT, matArray);
magnitude(matArray[0], matArray[1], gaussianSharpenImg);
normalize(gaussianSharpenImg, gaussianSharpenImg, 0, 1, CV_MINMAX);
imshow("高斯低通滤波", gaussianBlurImg);
imshow("高斯高通滤波", gaussianSharpenImg);
waitKey(0);
return 0;
}
输入-DFT-IDFT
低通滤波
高通滤波
Reference:
opencv学习（十五）之图像傅里叶变换dft
opencv 频率域滤波实例
opencv官方例程 ：dtf.cpp
《数字图像处理》 ——冈萨雷斯
