Leetcode_300_最长上升子序列_hn

题目描述

给定一个无序的整数数组,找到其中最长上升子序列的长度。

示例

示例 1:

输入: [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出: 4
解释: 最长的上升子序列是 [2,3,7,101],它的长度是 4。

说明

  • 可能会有多种最长上升子序列的组合,你只需要输出对应的长度即可。
  • 你算法的时间复杂度应该为 O(n2) 。

解答方法

方法一:动态规划

思路

状态定义
dp[i]的值代表 nums 前 i个数字的最长子序列长度。
转移方程: 设 j∈[0,i),考虑每轮计算新 dp[i]时,遍历 [0,i)列表区间,做以下判断:

  • 当 nums[i] > nums[j]时:nums[i] 可以接在 nums[j] 之后(此题要求严格递增),此情况下最长上升子序列长度为 dp[j] + 1;
    • 此情况 下计算出的dp[j]+1 的最大值,为直到 i 的最长上升子序列长度(即dp[i] )。实现方式为遍历 j时,每轮执行 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。转移方程: dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) for j in [0, i)。
  • 当 nums[i] <= nums[j]时: nums[i]nums[i] 无法接在 nums[j]之后,此情况上升子序列不成立,跳过。

转移方程: dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1) for j in [0, i)。

初始状态
dp[i]dp[i] 所有元素置 11,含义是每个元素都至少可以单独成为子序列,此时长度都为 11。

返回值
返回 dpdp 列表最大值,即可得到全局最长上升子序列长度。

代码

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums: List[int]) -> int:
        if len(nums)==0:
            return 0
        dp = [1] * len(nums)
        for i in range(len(nums)):
            for j in range(i):
                if nums[i] > nums[j]:
                    dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
        return max(dp)

时间复杂度

O(n^2),遍历计算 dpdp 列表需 O(N)O(N),计算每个 dp[i]dp[i] 需 O(N)O(N)。

空间复杂度

O(N),dp列表占用线性大小额外空间。

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