数据结构——堆

堆的概念

  • 堆(heap)是计算机科学中一类特殊的数据结构的统称。堆通常是一个可以被看做一棵树的数组对象,即是一种顺序储存结构的完全二叉树[1]

提示:完全二叉树

  • 完全二叉树:对一棵深度为k、有n个结点二叉树编号后,各节点的编号与深度为k的满二叉树相同位置的结点的编号相同,这颗二叉树就被称为完全二叉树[2]

堆的性质

  • 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值
  • 堆总是一棵完全二叉树
  • 除了根结点和最后一个左子结点可以没有兄弟结点,其他结点必须有兄弟结点

最大堆最小堆

  • 最大堆[3]:根结点的键值是所有堆结点键值中最大者,且每个结点的值都比其孩子的值大。

  • 最小堆[3]:根结点的键值是所有堆结点键值中最小者,且每个结点的值都比其孩子的值小。

代码

定义

有限数组形式

int Heap[1024];    //顺序结构的二叉树

若某结点编号为i,且存在左儿子和右儿子,则他们分别对应

Heap[i*2+1];      //左儿子
Heap[i*2+2];      //右儿子

其父节点

Heap[i/2];      //i的父节点

动态数组形式

在项目开发中,经常以动态数组形式出现,在本文主要对这种形式进行介绍

//默认容量
#define DEFAULT_CAPCITY 128

typedef struct _Heap
{
    int *arr;       //储存元素的动态数组
    int size;       //元素个数
    int capacity;   //当前存储的容量   
}Heap;

操作

  • 只使用InitHeap()函数进行初始化即可,AdjustDown()与BuildHeap()仅为堆建立时的内部调用

向下调整结点

  • 以创建最大堆为例
  • 将“判断最大子结点是否大于当前父结点”处的>=改为<=即可创建最小堆
//向下调整,将当前结点与其子结点调整为最大堆
//用static修饰禁止外部调用
static void AdjustDown(Heap& heap, int index)
{
    int cur = heap.arr[index];  //当前待调整结点
    int parent, child;

    /*
        判断是否存在子结点大于当前结点。
        若不存在,堆是平衡的,则不调整;
        若存在,则与最大子结点与之交换,交换后该子节点若还有子结点,则以此方法继续调整。
    */
    for (parent = index; (parent * 2 + 1) < heap.size; parent = child)
    {
        child = parent * 2 + 1; //左子结点

        //取两个子结点中最大节点,(child+1)<heap.size防止越界
        if (((child + 1) < heap.size && (heap.arr[child] < heap.arr[child + 1])))
            child++;

        //判断最大子结点是否大于当前父结点
        if (cur >= heap.arr[child]) //将此处的>=改成<=可构建最小堆
        {
            //不大于,不需要调整
            break;
        }
        else
        {
            //大于,则交换
            heap.arr[parent] = heap.arr[child];
            heap.arr[child] = cur;
        }

    }


}

建立堆

//建立堆,用static修饰禁止外部调用
static void BuildHeap(Heap& heap)
{
    int i;
    //从倒数第二层开始调整(若只有一层则从该层开始)
    for (i = heap.size / 2 - 1; i >= 0; i--)
    {
        AdjustDown(heap, i);
    }
}

初始化

//初始化堆
//参数:被初始化的堆,存放初始数据的数组, 数组大小
bool InitHeap(Heap &heap, int *orginal, int size)
{
    //若容量大于size,则使用默认量,否则为size
    int capacity = DEFAULT_CAPCITY>size?DEFAULT_CAPCITY:size;
    
    heap.arr = new int[capacity];   //分配内存,类型根据实际需要可修改
    if(!heap.arr) return false;     //内存分配失败则返回False
    
    heap.capacity = capacity;       //容量
    heap.size = 0;                  //元素个数置为0
    
    //若存在原始数组则构建堆
    if(size>0)
    {
        /*
        内存拷贝,将orginal的元素拷贝到堆数组arr中
        size*sizeof(int)为元素所占内存空间大小
        */
        memcpy(heap.arr,orginal, size*sizeof(int));
        heap.size = size;   //调整大小
        BuildHeap(heap);    //建堆
    }
    
    return true;
}

打印堆

  • 实际上是一个层序遍历[4]
//以树状的形式打印堆
void PrintHeapAsTreeStyle(Heap hp)
{
    queue<int> que;
    int r = 0;
    que.push(r);
    queue<int> temp;

    while (!que.empty())
    {
        r = que.front();
        que.pop();

        if (r * 2 + 1 < hp.size) temp.push(r * 2 + 1);
        if (r * 2 + 2 < hp.size) temp.push(r * 2 + 2);

        if (que.empty())
        {
            cout << hp.arr[r] << endl;
            que = temp;
            temp = queue<int>();
        }
        else
            cout << hp.arr[r] << " ";

    }

}

测试

main函数

int main()
{
    Heap hp;
    int vals[] = { 1,2,3,87,93,82,92,86,95 };

    if (!InitHeap(hp, vals, sizeof(vals) / sizeof(vals[0])))
    {
        fprintf(stderr, "初始化堆失败!\n");
        exit(-1);
    }

    PrintHeapAsTreeStyle(hp);

    return 0;
}

结果

95
93 92
87 1 82 3
86 2

完整代码

#include <iostream>
#include <queue>

using namespace std;

//默认容量
#define DEFAULT_CAPCITY 128
typedef struct _Heap {
    int* arr;
    int size;
    int capacity;
}Heap;

//向下调整,将当前结点与其子结点调整为最大堆
static void AdjustDown(Heap& heap, int index)
{
    int cur = heap.arr[index];  //当前待调整结点
    int parent, child;

    /*
        判断是否存在子结点大于当前结点。
        若不存在,堆是平衡的,则不调整;
        若存在,则与最大子结点与之交换,交换后该子节点若还有子结点,则以此方法继续调整。
    */
    for (parent = index; (parent * 2 + 1) < heap.size; parent = child)
    {
        child = parent * 2 + 1; //左子结点

        //取两个子结点中最大节点,(child+1)<heap.size防止越界
        if (((child + 1) < heap.size && (heap.arr[child] < heap.arr[child + 1])))
            child++;

        //判断最大子结点是否大于当前父结点
        if (cur >= heap.arr[child]) //将此处的>=改成<=可构建最小堆
        {
            //不大于,不需要调整
            break;
        }
        else
        {
            //大于,则交换
            heap.arr[parent] = heap.arr[child];
            heap.arr[child] = cur;
        }

    }


}

//建立堆,用static修饰禁止外部调用
static void BuildHeap(Heap& heap)
{
    int i;
    //从倒数第二层开始调整(若只有一层则从该层开始)
    for (i = heap.size / 2 - 1; i >= 0; i--)
    {
        AdjustDown(heap, i);
    }
}

//初始化堆
//参数:被初始化的堆,存放初始数据的数组, 数组大小
bool InitHeap(Heap& heap, int* orginal, int size)
{
    //若容量大于size,则使用默认量,否则为size
    int capacity = DEFAULT_CAPCITY > size ? DEFAULT_CAPCITY : size;

    heap.arr = new int[capacity];   //分配内存,类型根据实际需要可修改
    if (!heap.arr) return false;        //内存分配失败则返回False

    heap.capacity = capacity;       //容量
    heap.size = 0;                  //元素个数置为0

    //若存在原始数组则构建堆
    if (size > 0)
    {
        /*
        内存拷贝,将orginal的元素拷贝到堆数组arr中
        size*sizeof(int)为元素所占内存空间大小
        */
        memcpy(heap.arr, orginal, size * sizeof(int));
        heap.size = size;   //调整大小
        BuildHeap(heap);    //建堆
    }

    return true;
}

//以树状的形式打印堆
void PrintHeapAsTreeStyle(Heap hp)
{
    queue<int> que;
    int r = 0;
    que.push(r);
    queue<int> temp;

    while (!que.empty())
    {
        r = que.front();
        que.pop();

        if (r * 2 + 1 < hp.size) temp.push(r * 2 + 1);
        if (r * 2 + 2 < hp.size) temp.push(r * 2 + 2);

        if (que.empty())
        {
            cout << hp.arr[r] << endl;
            que = temp;
            temp = queue<int>();
        }
        else
            cout << hp.arr[r] << " ";

    }

}

int main()
{
    Heap hp;
    int vals[] = { 1,2,3,87,93,82,92,86,95 };

    if (!InitHeap(hp, vals, sizeof(vals) / sizeof(vals[0])))
    {
        fprintf(stderr, "初始化堆失败!\n");
        exit(-1);
    }

    PrintHeapAsTreeStyle(hp);

    return 0;
}

参考


  1. 堆(数据结构)_百度百科

  2. 二叉树 - 菜缤的世界 CairBin's Blog

  3. 最大堆和最小堆_varyall的博客-CSDN博客

  4. 二叉树及其遍历 - 菜缤的世界 CairBin's Blog

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