数学大地震:一个半世纪悬而未决黎曼猜想被证明?它到底说了啥

“如何用最困难的方法去挣100万美元?”

“去证明黎曼猜想!”

 

这是在数学界流传的一个笑话,黎曼猜想的难度可见一斑。


2000年5月,美国克雷数学研究所向全世界公布了七大数学难题,每个难题悬赏100万美金,黎曼猜想就是其中第四个。

 

1900年,大数学家希尔伯特提出了23个历史性数学难题,黎曼猜想是第八个问题的一部分。

作为唯一一个连上两榜的难题,黎曼猜想牵动着每一位数学家的神经。所以,当2018年9月阿蒂亚爵士宣称证明了黎曼猜想的时候,整个科学界炸锅了。那么,黎曼猜想到底说了啥?普通的吃瓜群众要怎样才听懂如此高深的数学问题?长尾科技今天就来给大家说道说道。

 

其实,在长尾科技的上一篇文章《终于知道为什么宇宙是11维的了,11竟然是这么来的……》里还恰巧就涉及到了一点点和黎曼猜想有关的东西。

 

欧拉的公式

不知道大家还记不记得上篇文章里提到的那个欧拉的不可思议公式:1+2+3+4+5+……=-1/12。正是这个公式让超弦理论里光子的能量变成可以计算的,并最终确定了超弦理论里宇宙的维度

 

上篇文章因为是讲超弦理论的,所以这个公式也只是稍微提了一下,也跟大家说了当时欧拉的证明方法是不严谨的。并且这种加法也不是我们平常所说的加法,而是无穷级数的求和数学家们为此甚至重新定义了“和”的概念。数学一涉及到这种无穷,很多东西就跟平常不一样了,就跟物理学家在量子尺度看到的完全不一样的世界一样。

 

在这种无穷级数的求和,我们平常加法所使用的交换律(a+b=b+a)和结合律【(a+b)+c=a+(b+c)】都不再适用。

 

比如,看这样一个数列求和:1,-1,1,-1,1……(正负1无穷交替)。

 

如果我们这样配对:(1-1)+(1-1)+……=0。(它的和应该是0)

 

而如果这样配对:1+(-1+1)+(-1+1)+……=1。(它的和又应该是1)

 

不同的结合方式得到的结果竟然是不一样的,这在我们普通的加法里是不可想象的。这种问题在数学里叫发散级数求和,我并不打算在这里深入讲这个,大家只需要知道这种求和跟我们平常所理解的求和不一样,但是这种求和在物理上(比如超弦)具有很重要的意义就行了。

 

Zeta函数ζ(n)

欧拉的那个不可思议公式(1+2+3+4+5+……=-1/12)其实有一个更加一般的形式,这个更加一般形式就叫Zeta函数ζ(n)

我们可以看到,上面那个自然级数的求和就是这个当Zeta函数里n=-1的时候的特例,即:

 

ζ(-1)=1+2+3+4+……=-1/12。

 

欧拉在1735年(28岁)就算出来了ζ(2)=1+1/4+1/9+1/16+1/25+……=π^2/6,并且通过这个一举成名。

 

欧拉后面还要继续跟这个Zeta函数打交道,并且发现这个函数里隐藏的惊天秘密,最终给黎曼和黎曼猜想打开了一扇大门。

 

那么,欧拉到底发现了Zeta函数里面隐藏的什么秘密呢?

 

答案就是:Zeta函数和质数之间有某种不可告人的关系

 

为什么质数(素数)如此重要?

质数,也叫素数,我们在小学的时候就知道它的概念:只能被自己和1整除的自然数就叫质数(比如2, 3, 5, 7, 11, 13),质数以外的自然数(就是说除了自己和1,还能被其他的)叫合数

 

小时候我们知道质数和合数的定义,也知道要怎么判断,但是我们未必知道质数的意义(不就是只能被自己和1整除嘛,有什么特别意义的)。

 

我们先来想一想,合数为什么叫合数?我们可以理解为合数是可以由其他的质数合成的数。小学我们就学过质因数分解:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,这个质数就叫这个合数的分解质因数

 

也就是说,我所有的合数都可以看成是由质数组合而成的,那么,只要我把这些处在最低层的质数的规律摸清楚了,那么上层的合数的规律就不在话下了。

 

这就好比我们学物理,只要我们把分子原子的规律搞清楚了,那么由分子原子组成的物质的性质也就搞清楚了。而质数在自然数里的地位,就相当于分子原子电子(现在应该是夸克)这些基本粒子在物理学的地位,所以你说它重不重要

 

质数的规律

既然质数这么重要,那数学家们都去研究质数的规律啊,都别闲着啊!

 

数学家们自觉得很,根本不用你催就去吭哧吭哧的研究去了,但是研究来研究去,发现这质数实在太难搞了,压根就没啥规律可言嘛。试图通过简单的多项式来找到质数规律的直接被判死刑了,不信我列举100以内的质数你自己去找找规律看看,看看能找出什么规律:

 

100以内的质数:2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。

 

数学们发现质数有无穷多个,而且根本找不到简单的多项式通项公式,要研究质数压根不知道从而下手。

 

这种尴尬的局面一直要到欧拉发现了Zeta函数和质数之间的神秘联系之后才被打破。

 

欧拉乘积公式

1737年,欧拉在一篇名为《无穷级数的各种观察》的论文中首次发现了质数和Zeta函数之间的一种关系:Zeta 函数的求和等于1减去质数的-s 次方的倒数的求积

 

这个公式叫做欧拉乘积公式(p为质数)

这个公式看不太懂也没关系,反正我们只要知道欧拉第一次发现了质数的乘积和Zeta函数的求和之间存在一种关系就行了。这种关系是现代质数理论的基础,并且给后人指明了一个方向:想要了解质数的规律么?那么就去研究Zeta函数把,质数的规律极有可能就藏在Zeta函数里面

 

质数的计数函数π(x)

在上面我们提到,想找到一个简单的多项式公式来描述质数是不可能的,那我来研究一下质数的分布规律总可以吧,我想知道100以内大概有多少个质数,100万以内大概有多少个质数,这个也非常的重要。

 

高斯引入质数的计数函数π(x)就是用来干这事的,π(x)表示小于x的质数数量,比如π(100)就表示小于100的质数有多少个。

 

π(x)其实是一个客观确定的函数,比如我们都知道10以内的质数一共有4个(π(10)=4),20以内的质数一共有8个(π(20)=8),100以内的质数总共有25个(π(100)=25)等等。那么接下来我们就要找一个已知的函数来模拟它,让这个函数取10的时候,它的值为4,取20的时候值为8,取100的的时候值为25。

 

因为我们没有找到描述质数的准确规律,所以我们也无法找到一个精确的描述质数分布的函数,于是我们就只能尽可能去找一个误差比较小的函数来代替它,让我们对质数的分布有个大致的把握。

 

质数的计数函数π(x)是高斯提出来的,他自己先给出了一个近似模拟π(x)的函数:x/ln(x)。并且提出:当x逐渐增大到无穷大时候,π(x)和x/ln(x)应该近似相等。这个就叫素数定理。

 

后来,人们又提出了一个模拟π(x)的函数Li(x),这个函数比x/ln(x)更加精确。

这几个函数的图如下,我们可以看到Li(x)偏大,x/ln(x)偏小。相比之下Li(x)确实更加精确一些。

但是,即便如此,数学家们还是不满意。Li(x)即便精确一些,但是当x取到亿级的时候,它将产生两千多个误差,这对眼里容不得沙子的数学家来说,依然是不可接受的。

 

难道就不能再找到更好的结果了么?

 

黎曼登场

前面做了那么多铺垫,我们的主角黎曼终于要登场了。


我们先看一看这几个人的出生年代:欧拉(1707-1783)、高斯(1777-1855)、黎曼(1826-1866)。高斯比欧拉小了70岁,黎曼比高斯小了49岁,而黎曼正好是高斯最得意的学生。从上面我们发现最悲伤的事情是:欧拉和高斯分别活了76岁和78岁,而黎曼只活了40岁

 

如果黎曼能活得跟欧拉高斯一样久,黎曼猜想或许早就被黎曼自己解决了,而且说不定黎曼能把相对论搞出来(爱因斯坦的广义相对论的数学工具就是黎曼几何)。黎曼的创造力和对数学的洞察力太惊人了,他随便一个证明从略的东西就要花费后世数学家几十年的时间去证明,而黎曼的运气又太差了,他极其珍贵的手稿在他死后被管家一把火烧了,可见身体是革命的本钱啊!

 

1859年,黎曼发表了关于质数分布的论文《论小于某给定值的素数的个数》,这是他在这个领域发表的唯一的一篇论文,却被认为的该领域最重要的论文,不得不说有才就是任性。

 

黎曼 Zeta函数

关于Zeta函数我们在上面已经介绍了,欧拉第一个发现了质数和Zeta函数之前存在着某种不可告人的秘密,但是这种关系毕竟很有限。

 

黎曼做的一个重要的工作就是:把Zeta函数推广到了复数,然后在复数这个更高的角度发现了Zeta函数跟质数之间更加深刻的关系

 

我们先来回忆一下复数的概念:-3,2,0,1,5这种数是整数,整数加上有限小数和无限循环小数构成了有理数,有理数加上π、根号2这种无限不循环的无理数一起构成了实数,实数和虚数一起构成了复数

 

虚数主要是通过一个虚数单位构成的,这个虚数单位记做i,这个i的一个神奇的特性就是:i的平方等于负一,即i^2=-1

 

我们知道,在实数范围里,任何一个数的平方都是大于等于0的数,但是现在出现了一个i,它的平方居然等于-1,那么这个i肯定就不是实数里面的了。那么,有这个i组成的数就叫虚数,实数和虚数一起就叫复数。

 

根据上面的定义,一个复数就可以写成s = σ + it(其中σ 和 t 均为实数,i为虚数单位),当t=0的时候,这个复数就变成了一个实数。

 

黎曼Zeta函数就是把原来的Zeta函数拓展到了这个复数里面,也就是说下面的s代表一个复数。

 

函数的零点

我们在初中的时候就接触过方程和函数。

 

方程是一个含有未知数的等式,使用方程可以让我们省去逆向思维的痛苦,这在数学里是一个非常重要的思想。通常我们会把方程里所有的项都移到左边,然右边只剩下一个0,而通过解方程就可以求解出这个未知数。

 

比如,2x-4=0这是一个方程,因为只有x一个变量,而且最高次项只有一次(没有平方立方啥的),所以这叫一元一次方程,也是最简单的方程。我们通过观察,很轻松的就可以发现当x=2的时候这个等式是成立,所以这个方程的解就是x=2

 

然后,我们把方程的左边单独摘出来,把它赋给另外一个变量y,这样就变成了y=2x-4,那么这样就产生了一个函数。

 

我们观察这个函数,当x=1的时候,y=-1;x=2的时候,y=0;x=3的时候,y=2等等等等。给定一个任何的x,我们的y都有一个唯一的值跟它对应。

 

那么,当x等于多少的时候,y等于0呢?这个问题就是函数的零点的问题,大家观察一下就可以发现,如果y=0那么这个函数就变成了y=2x-4=0,这不就是之前的方程么?因为函数的零点问题其实是跟这个函数对应的方程的解的问题联系在一起的,所以,这个函数的零点问题就显得特别的重要。

 

那么好,在我们这个y=2x-4这个函数里,它有零点,并且只有x=2这一个零点,但是在很多函数里,它的零点就不止一个。比如说y=x^2-4(x的平方减4),这个函数就有x=2和x=-2两个零点,它有两个零点就意味着它对应的方程有两个解,以此类推。

 

黎曼Zeta函数的零点

我们现在了解了一个函数的零点的概念,也懂得了它的意义,那么黎曼Zeta函数它是不是也是一个函数呢?既然是一个函数,那么它是不是也有零点?那么它的零点应该是什么样的呢?

 

上面我们也说了,这个Zeta函数之所以要称为黎曼Zeta函数,就是因为黎曼把这个函数拓展到了复数领域,那么相应的,这个函数的零点也应该是复数。

 

我们就假设黎曼Zeta函数的零点s=a+bi(这是一个复数,a为实数部分,简称实部,b为虚数部分,简称虚部)

 

黎曼对根据零点实部的大小给这些零点分了一个类:a<0的零点,0<=a<=1的零点和a>1的零点

 

实部a<0的零点:这部分零点非常的简单,就是在负偶数的地方有零点,比如-2,-4,-6,-8……因为这部分的零点是在是太平凡了,所以它们叫平凡零点

 

实部a>1的零点:通过计算,黎曼发现当实部a>0的时候,函数压根就没有零点,也就是说,在这里不存在零点。

 

实部0<=a<=1的零点:小于0和大于1部分的零点都容易解决,这部分处在临界地区的零点是最复杂的,也是被研究的最多的,这部分的零点因为非常的复杂,非常的不平凡,所以被称为不平凡零点。跟黎曼猜想息息相关的,正是这些不平凡零点

 

黎曼猜想

黎曼在研究这些非平凡零点的时候,发现他求解的非平凡零点的实部a都等于1/2,但是他无法给出证明,无法从数学上推导出黎曼Zeta函数的非平凡零点的实部都等于1/2。

 

于是,黎曼就给出了鼎鼎大名的黎曼猜想黎曼Zeta函数的非平凡零点的实部都等于1/2

 

如果黎曼猜想是正确的,那么以后黎曼Zeta函数的非平凡零点就可以都写成s=1/2+bi的形式。

 

据说我们已经用计算机已经验证了10万亿个非平凡零点,发现它的实部都等于1/2,但是10万亿不等于所有,在无穷面前依然是沧海一粟。

 

当然,因为黎曼猜想非常的好用,所以,很多数学家也等不到黎曼猜想被证明(他们相信黎曼猜想应该是对的,只是现在还无法证明而已),他们就直接假设黎曼猜想是对的,然后继续进行他们的工作。据说,目前已经有一千多个命题是基于黎曼假设正确提出来的,也就是说,如果黎曼猜想最终被确切证明是正确的,那么这一千多个命题就会荣升为定理,如果黎曼猜想不幸是错误的,那么一千多个命题就会集体陪葬。

 

一条猜想关系着如此多命题的命运,这在数学史上都是前无古人的。

 

不平凡零点和质数

我们在上面已经说过,零点的意义是很重要的。在黎曼猜想之后,黎曼就开始研究它们和质数之间的关系,因为我们研究Zeta函数,研究不平凡零点,最终都是为了研究质数的规律。

 

高斯之前定义了一个质数的计数函数π(x),黎曼把这个质数的计数函数自己包装了一层,提出了一个黎曼质数计数函数J(x),其中:

然后,黎曼给出了质数计数函数的准确形式,并发现它跟非平凡零点有非常大的关系。这样,非平凡零点的意义一下子就凸显出来了。同样的,我贴出来的这些公式,不理解也无所谓,反正就是只要知道黎曼质数计数函数跟非平凡零点之间有种关系就行了,观其大意,抓住要点,不求甚解。

再回忆一下,质数计数函数是什么意思?它表达的是小于这个数的范围内有多少个质数,这其实就是在研究质数的分布规律,这对于质数的研究是非常重要的,我们的质数到底是随机分布的,还是有什么特殊的规律呢?

 

不平凡零点的意义

不平凡零点虽然是黎曼用Zeta函数来研究质数的时候蹦出来的东西,但是这东西一旦出来了就不再受控了。

 

比如,物理学家居然发现这个不平凡零点的分布跟多粒子系统相互作用下能级的分布有这某种惊人的相似性。

 

这些零点的分布到底有什么规律?这些零点到底有什么意义?它是不是无意中泄露了某种新的天机?我们可能只是通过质数的研究无意中把它炸了出来,但是它的真实能量可能远远不止如此。

 

也正因为这些不平凡的零点慢慢变得如此不平凡,黎曼猜想就变得愈发的重要,毕竟,对于这些不平凡零点来说,它们是实部是不是永远等于1/2,这可是个大事

 

结语

不知不觉,文章快6000字了。

 

黎曼在1859年提出了黎曼猜想,这问题在159年之后依然悬而未决,可见问题难度之大。因此,要把这个问题跟不太懂高等数学的人讲清楚是非常困难的,尤其长尾科技是打算让初中生甚至小学生也能看懂黎曼猜想(如此伟大美妙的思想,凭什么不让初中生小学生了解?),因为小学初中时期是学生思想最纯的时候,那个时候的学生是发自内心的想当科学家。如果我的文章能够让初中生小学生对黎曼猜想,对数学产生兴趣并自发的研究数学,那长尾科技写文章的目的就达到了。

 

长尾科技写相对论文章的目的也是如此。长尾就是要把物理、数学、计算机里一些最难以理解,最前沿的科学思想用初中生甚至小学生都能看懂的语言写出来,而且是把他们的原理前前后后都写清楚,而不是简单的介绍一下他们。长尾科技自己没有真的弄懂的东西,绝不轻易下笔,宁可不写,也不要误导别人,也因此,长尾科技的公众号里只有自己原创的文章。

 

相对论、量子力学、黑洞、超弦、无穷、哥德尔定理、贝尔不等式、人工智能、深度学习,这些超酷的字眼我不能只让科学家们才理解它们啊。我相信科学本身就是非常美的,只要我把科学的美自然的展现出来,别人不需要外力就能自动的爱上它,这也是科普的意义~

 

最后,长尾科技希望这篇文章能让初中以上(甚至小学)的人能看黎曼猜想,如果有哪里没看懂的可以来公众号或者社群,我还不信就说不清楚了~

 

再感叹一下:黎曼大大真的太牛了,可惜死的太早,所以大家要记得锻炼身体啊~


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