前言
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向量大小计算：
||V|| : 为向量V的模。
向量大小计算公式.png
向量与标量的除法：
向量与标量的除法.png
标准化向量：
标准化向量.png
示例：
示例-1.png
零向量是不能被标准的，数学是上不允许的。因为将导致除数为0，几何上没有意义。因为零向量没有方向。
向量点乘
向量点乘.png
点乘的几何意义
a • b = ||a|| ||b|| cos(q)
//q为a，b向量的夹角
-
3D中，两向量的夹⻆角是在包含两向量的平⾯中定义的。
点乘夹角q.png - ⽤点乘计算2个向量之间的夹⻆角q,如果a,b都是单位向量
q = arccos ( a • b )
| a·b | q角度 | a 和 b |
|---|---|---|
| >0 | 0° ≤ q < 90° | 方向基本相同 |
| =0 | q = 90° | 正交 |
| <0 | 90° < q ≤ 180° | 方向基本相反 |
示例：
示例-1.png
示例-2.png
向量叉乘
向量叉乘.png
向量的叉乘⼏何意义
- 向量a,b在⼀个平⾯中。向量a * b 指向该平⾯的正上⽅，垂直于a 和b a * b 的⻓长度等于向量的⼤⼩与向量夹⻆角的sin值的积，如下:
|| a * b || = ||a|| ||b|| sin∂
矩阵基础
标量与矩阵相乘
标量与矩阵相乘.png
矩阵与矩阵相乘
Arn * Bnm = Crm
即：r行n列矩阵A 叉乘 n行m列矩阵B = r行m列矩阵C
- 矩阵相乘法则：对结果中的任意元素Cij，取A的第i⾏和第j列，将⾏和列中的对应元素相乘。然后将结果相加等于A的i行和B的j列的点积）。Cij就等于这个和。
矩阵相乘.png
示例.png
矩阵乘法注意事项：
- 1.任意矩阵M乘以⽅阵S,不管从哪边乘，都得到与原矩阵⼤⼩相同的矩阵。当然，前提是假定乘法有意义。如果S是单位 矩阵，结果就是原矩阵M，即:MI = IM = M 。
- 2.矩阵乘法不满⾜交换律，即:AB != BA
- 3.矩阵乘法满⾜结合律，即:(AB)C = A(BC)。假定ABC的维数使得其乘法有意义，要注意如果(AB)C有意义，那么A(BC)就 ⼀定有意义。
- 4.矩阵乘法也满⾜与标量或向量的结合律，即:(kA)B = k(AB) = A(kB); (vA)B = v(AB);
- 5.矩阵积的转置相当于先转置矩阵然后以相反的顺序乘法，即：(AB)T = BT AT
矩阵与向量相乘 注意事项：
- 1.结果向量中的每个元素都是原向量与矩阵中单独⾏或列的点积；
- 2.矩阵⼀向量乘法满⾜对向量加法的分配律，对于向量v,w 和 矩阵M 有，
(v + w)M = vM + wM;
矩阵⼏何意义
1.⽅阵的⾏能被解释为坐标系的基向量；
2.为了将向量从原坐标系变换到新坐标系，⽤它乘以⼀个矩阵。
3.从原坐标系到这些基向量定义的新坐标系的变化是⼀种线性变换。线性变换保持直线和平⾏线。但角度、长度、 ⾯积或体积可能会改变。
4.零向量乘以任何矩阵仍然得到零向量。因此，⽅阵所代表的线性变换的原点和原坐标系原点⼀致。变换不包含 原点。
3D旋转 围绕任意轴旋转向量
绕n轴旋转⻆角度∂之后的矩阵：
任意轴旋转公式.png
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