算盘知多少

本文刊载于《数学大王》2019年第9期


算盘模型/S7

在学习和生活中,我们时常会遇到复杂的数学问题,此时,借助电子计算器就可以很快得到答案。但在没有计算器的古代,我们的祖先该怎么办呢?不用担心,他们也有一款神器——算盘。

构造

算盘看起来「相貌平平」,长方形的木框里并排着一串串的木珠[1],像极了一盒冰糖葫芦。中间的横梁把每串珠子分成「上二下五」的两部分,下面的珠子一颗表示1,上面的珠子一颗可以表示5。

当上下不同数量的珠子贴着横梁「隔岸相望」,就组成了不同的数字,比如9是这么来的:

张开你的大拇指和中指这么一捏
9就出现了

算盘的一个串串对应着数字中的一位,从右往左依次为个位、十位、百位……

当然,如果想用小数,最右边的几串也可以留给十分位、百分位、千分位……

我们不妨简化一些,只讨论整数,那么2019就是这个样子:

聪明的你也许已经察觉,表示0~9只需要上面1颗、下面4颗就够了,为什么上下都多了一颗珠子呢?原来,古人在计算重量时用的是十六进制[2],我们常说「半斤八两」,八两等于半斤,十六两才是一斤,上面2颗、下面5颗正好可以表示0~15

不光如此,在做一些十进制的计算过程中,也会临时用到这两颗「多余的」算珠,比如借位和进位。

那为什么会想到分出两颗珠子表示5,而不是直接给每一串都串上15颗呢?因为我们的手有5根手指。日常生活中,5以内的数字我们用一只手搞定,5以上10以内的就用两只手,当小伙伴把手一伸,你瞬间就知道了他新买的玩具花了几块钱。我们的大脑习惯了这样5个、5个一组地数数,让上面的珠子表示5是非常聪明的设计。

珠算

虽然算盘结构简单,用起来却十分巧妙,聪明的古人想出了许多朗朗上口的口诀,成语「三下五除二」其实就是珠算中的一条加法口诀:

如果下方贴到横梁的珠子不少于两颗,此时给它加上3,就需要将上方的一颗珠子拨下来(下五),再去掉下方的两颗珠子(除二)[3]

比如计算:

3 + 3 = 6

先准备好下方的3颗珠子
开始「下五」——拨下1颗表示5的珠子
此时算盘上数字是8,这还不是最终结果。
紧接着「除二」——去掉下方的2颗珠子
结果为6,大功告成啦!

除了最基本的加减乘除,算盘还能做更复杂的数学计算,它在老一辈科学家的手中甚至还为中国原子弹的研制做出过巨大贡献呢!

珠算也在2013年列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录,被誉为中国的第五大发明!

演变

其实,算盘并不是一出生就长得现在这样「精干」。

在很久很久以前的远古时代,人们想到用小石子表示打到猎物的数量,1颗石子就代表1头猎物,部落中的人口、摘到的果子都可以用这样一堆一堆的石子表示。

随着人类文明的演进,人们不再满足于纯粹的用石子数数,而是把它们摆到木板上,并在木板上划出横线和竖线,用石子在线上的位置表示数字,有时还会用不同颜色的石子表示不同的数字。计算的时候把石子挪来挪去,不知道的还以为是在下棋呢。[4]

这种「算盘」有个缺点,要是不小心碰到,石子容易乱跑,于是人们在板上挖出一条条的沟槽,把石子磨圆了放在沟里。石子只能在自己的沟里移动,再怎么不安分也跳不到隔壁沟里去。

图片来自《世界珠算通典》

但这样的算盘还是不够便携,每次用完还得小心翼翼地把珠子收好。聪明的古人想到把它们串起来,一串串固定在板上,这才有了算盘最终的模样。

国外的算盘

其实算盘并不是中国的专属,其他一些国家和地区也曾有过类似的发明,只是都不像中国那样长寿。看着这些充满「异国风情」的算盘,仿佛见证了算盘演化的历史。

▌希腊计数板

两千五百年前,希腊人在大理石板上刻出具有特殊含义的线条,把一颗颗鹅卵石摆在板上,计算时不停地挪动它们的位置。这正是算盘最早的模样。

图片来自维基「Abacus」词条

▌罗马沟算盘

两千年前,罗马人在铜板上挖出一条条的沟槽,把一颗颗的小铜珠放在沟里,计算时推着铜珠上下滚动,好像在玩打弹珠的游戏。

图片来自维基「Roman abacus」词条

在珠子的分配上,罗马人和中国人想到了一起去,他们在上侧的每条沟里摆放1颗表示5的珠子,在下侧的每条沟里摆放4颗表示1的珠子,每一位就都可以表示0~9了。

▌印加算盘

印加是个古老而神秘的帝国,他们的算盘像缩小的梯田,十分古怪,历史学家们到今天还没搞清楚怎么用它呢。

图片来自维基「Abacus」词条

▌俄罗斯算盘

俄罗斯算盘长得和中国算盘很像,只不过俄罗斯人没有想到分出一两颗珠子来表示5,而是「傻乎乎地」给每一串都串了10颗,中间没有横梁。用的时候居然是竖放的,从右往左拨珠。串珠的棍子故意做成了弯的,中间稍稍隆起,这样可以保证珠子乖乖地呆在左右两侧。

图片来自维基「Abacus」词条

▌日本算盘

算盘在14世纪从中国传入日本,日本算盘本质上就是中国算盘,只不过他们很少用到那两颗多余的珠子,所以往往会直接把它们删掉。

图片来自维基「Abacus」词条

  1. 到了现代也有一些塑料做的算盘,由于它的文化价值,艺术家们还做出了金银算盘乃至玉算盘,作为摆件或配饰。

  2. 「进制」是个有趣的数学概念,它规定着我们数数时把多少个数当成一组。除了最基本的十进制,其他进制在生活中也很常见,比如1天24小时用的是二十四进制,1小时有60分钟、1分钟有60秒用的就是六十进制。

  3. 注意,这里的「除二」是「去掉二」,而不是「除以二」的意思哦。

  4. 其实下棋这种游戏就是这样被发明出来的!

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