【数据结构】红黑树

1、什么是红黑树?

      红黑树是一个要求不那么严格的平衡二叉树搜索树(平衡二叉搜索树/AVL树=平衡二叉树+二叉搜索树)
平衡二叉树要求左右子树高度差值<=1,红黑树放宽了这个要求,只要求任意路径的长度只差不会超过2倍即可。更准确的说是任意路径上的的黑色节点数相同即可

2、红黑树有什么用?

红黑树可用于数据查找,因为其“相对”平衡,所以其查找效率略低于平衡二叉搜索树,但是也非常高效。

3、平衡二叉搜索树的查找效率更高,为什么还要红黑树?

      平衡二叉树的要求过于严格(左右子树高度差值<=1),导致几乎每一次插入/删除节点都会破坏平衡二叉树的结构,需要将其重新调整为平衡二叉树。
      显然,如果在那种插入、删除很频繁的场景中,平衡树需要频繁着进行调整,这会使平衡树的性能大打折扣。而红黑树因为不是严格的平衡,所以可以避免这个问题,同时红黑树又是一个“相对”平衡的二叉搜索树,所以其查找性能也很好。

3、红黑树的特点/性质(最好背下来)

1、每个节点都有颜色(红或黑)
2、根节点是黑色的
3、叶节点时黑色的(注意:叶节点是空节点,有值的节点都不是叶结点)
4、没有两个相邻的红色节点(或者说红色节点的子节点一定是黑色节点)
5、从根节点到叶结点的每条路径包含的黑色节点相同(又叫:黑节点平衡)

4、从红黑树查找数据

与二叉搜索树查找数据的过程一致

5、向红黑树中插入数据(插入的节点统一标记为红色)

为什么标记位红色?
答:每条路径包含的黑色节点已经相同了,将新插入的节点标记位红色,那么插入后每条路径包含的黑色节点数没变,所以依然相同

(若插入数据后破坏了红黑树的性质,则需要对红黑树进行“再平衡”,使其满足红黑树的性质。并且新插入的节点最多只会破坏5条性质中的1条)
插入数据分为了3种情况
1、插入的节点,其没有父节点
2、插入的节点,其父节点是黑色节点
3、插入的节点,其父节点是红色节点

第一种情况:插入的节点没有父节点,说明插入的节点是根节点,此时直接将节点的颜色改为黑色即可

第二种情况:插入的节点,其父节点是黑色节点,此时不需要采取措施。新插入的节点并没有破坏红黑树的性质

插入节点14

第三种情况:插入的节点,其父节点是红色节点。如图

插入节点21

可以看到21和22同为红色,破坏了“没有两个相邻的红色节点”性质,需要进行再平衡操作。

如何再平衡?(最好背下来)

分为以下情况(共同前提:插入节点的父节点是红色):
1、插入节点的父节点的兄弟节点(即插入节点的叔叔节点,就是上图中的27节点)是红色
2、插入节点的父节点的兄弟节点是黑色

为什么要看其叔叔节点,而不是其父亲节点?
答:这里其实跳步了,我们第一步还是调整其父亲节点,但是其父亲节点只有一种调整方法:由红色变为黑色。第二步在看其叔叔节点的颜色。所以这里直接跳过其父亲节点的调整,看其叔叔节点的颜色

第一步:将其父节点颜色变为黑色
因为其父节点颜色变成了黑色,所以包含其父节点的这条路径多了一个黑色节点。破坏了“从根节点到叶结点的每条路径包含的黑色节点相同”性质,如上面的13,17,25,22(变成了黑色),21路径

第二步:看其叔叔的颜色:

第一种情况:其叔叔节点为红色(其父节点为红色的前提下)
步骤:
1、把叔叔节点变成黑色
2、把其祖父节点(父节点的父节点)变成红色。若其祖父节点为根节点,则不变色
3、把祖父节点当做新插入的节点,重复1,2,3步骤直到其祖父节点为根节点

第二种情况:其叔叔节点为黑色(其父节点为红色的前提下)
这种情况下又分为两种情况:
1、新插入的子节点是父节点的左子节点
2、新插入的子节点是父节点的右子节点

第一种情况:新插入的子节点是父节点的左子节点(其叔叔节点为黑色,并且其父节点为红色的前提下)
步骤:(先变色,在右旋)

image.png

1、将其父节点变为黑色
2、将其祖父节点变为红色(其父节点是红色,则其祖父节点必为黑色)
3、以其父节点为支点,进行右旋操作(如何右旋?百度上有很形象的动画演示)

第二种情况:新插入的子节点是父节点的右子节点(其叔叔节点为黑色,并且其父节点为红色的前提下)
步骤:(先左旋将其变为情况一,在按情况一的操作来进行

image.png

以新插入的节点为支点,进行左旋操作,变为情况一,此时将插入节点的父节点(上图的P节点)当做新插入的节点来进行情况一步骤下的:变色,右旋操作

6、红黑树的删除操作:

下面我们开始讨论删除操作(下面的叶子节点都是指非NULL的叶子节点):

A. 删除的是叶子节点且该叶子节点是红色的 ---> 无需修复,因为它不会破坏红黑树的5个特性

B. 删除的是叶子节点且该叶子节点是黑色的 ---> 很明显会破坏特性5,需要修复。

C. 删除的节点(为了便于叙述我们将其称为P)下面有一个子节点 S,对于这种情况我们通过 将P和S的值交换的方式,巧妙的将删除P变为删除S,S是叶子节点,这样C这种情况就会转 换为A, B这两种情况:

C1: P为黑色,S为红色 ---> 对应 A 这种情况

C2: P为黑色或红色,S为黑色 --- > 对应 B 这种情况

**D. **删除的节点有两个子节点,对于这种情况,我们通过将P和它的后继节点N的值交换的方 式,将删除节点P转换为删除后继节点N,而后继节点只可能是以下两种情况:

D1: N是叶子节点 --- > 对应情况 A 或 B

D2: N有一个子节点 ---- > 对应情况 C

所以通过上面的分析我们发现,红黑树节点删除后的修复操作都可以转换为 A 或 B这两种情况,而A不需要修复,所以我们只需要研究B这种情况如何修复就行了。

下面我们讨论如何修复B中情况:(若没有兄弟节点,则其兄弟节点是null节点,根据红黑树的性质,null节点为黑色)

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