贝塞尔曲线(Bezier曲线)

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kapaly
2018.06.04 14:32 字数 613

贝塞尔曲线(Bézier curve),又称贝兹曲线或贝济埃曲线,是应用于二维图形应用程序的数学曲线。一般的矢量图形软件通过它来精确画出曲线,贝兹曲线由线段节点组成,节点是可拖动的支点,线段像可伸缩的皮筋,我们在绘图工具上看到的钢笔工具就是来做这种矢量曲线的。贝塞尔曲线是计算机图形学中相当重要的参数曲线。贝塞尔曲线上的所有控制点、节点均可编辑。


贝塞尔曲线就是这样的一条曲线,它是依据四个位置任意的点坐标绘制出的一条光滑曲线。在历史上,研究贝塞尔曲线的人最初是按照已知曲线参数方程来确定四个点的思路设计出这种矢量曲线绘制法。贝塞尔曲线的有趣之处更在于它的“皮筋效应”,也就是说,随着点有规律地移动,曲线将产生皮筋伸引一样的变换,带来视觉上的冲击。它的主要意义在于无论是直线或曲线都能在数学上予以描述。


线性公式

给定点P0、P1,线性贝兹曲线只是一条两点之间的直线。这条线由下式给出:


且其等同于线性插值。

二次方公式

二次方贝兹曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t)追踪:


TrueType字型就运用了以贝兹样条组成的二次贝兹曲线。

三次方公式

P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝兹曲线。曲线起始于P0走向P1,并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2;这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距,决定了曲线在转而趋进P3之前,走向P2方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为:


现代的成象系统,如PostScript、Asymptote和Metafont,运用了以贝兹样条组成的三次贝兹曲线,用来描绘曲线轮廓。

一天一个图形公式
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