阶乘、奇数偶数阶乘的相关公式和斯特林公式的证明

一、伽玛函数

伽玛函数的定义： $\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$ ，其中， $\Gamma(1) = 1$ 。当 $x > 1$ 时，则有：

$\Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt = t^x e^{-t} \bigg|_0^{\infty} - \int_0^{\infty} t[(x-1) t^{x-2} e^{-t} - t^{x-1} e^{-t}] dt = (1-x) \Gamma(x) + \Gamma(x+1)$

$\Gamma(x+1) = \int_0^{\infty} t^x e^{-t} dt = -t^x e^{-t} \bigg|_0^{\infty} + x \int_0^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt = x \Gamma(x)$

可以得出，若 $n \in N$ ，则有： $\Gamma(n + 1) = n \Gamma(n) = n*(n-1) \Gamma(n-1) = \dots = n!$

二、正弦幂的积分函数和沃利斯公式

设 $I(x) = \int_0^{ \frac{\pi}{2} } (sint)^x dt$ ，其中，函数单调递减， $I(0) = \frac{\pi}{2}, I(1) = 1$ 。当 $x \geq 2$ 时，有 $I(x)$ 的递推公式：

$I(x) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (sint)^x dt = -cost (sint)^{x-1} \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} + (x-1) \int_0^{\frac{\pi}{2}} (cost)^2 (sint)^{x-2} dt$

$\implies I(x) = (x-1) (I(x-2) - I(x))$

$\implies I(x) = \frac{x - 1}{x} I(x-2)$

可以得出，若 $n \in N$ ，则有： $I(n) = \frac{(n-1)!!}{n!!} I(n \ mod \ 2)$ ，有此可推出：

$I(2n + 1) < I(2n) < I(2n - 1)$

$\implies \frac{(2n)!!}{(2n + 1)!!} < \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{\pi}{2} < \frac{(2n-2)!!}{(2n-1)!!}$

$\implies 1 < (\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!})^2 (2n+1) \frac{\pi}{2} < \frac{2n+1}{2n}$

$\implies \frac{2n}{2n+1} \frac{\pi}{2} < (\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!})^2 \frac{1}{2n+1} < \frac{\pi}{2}$

$\implies \lim_{n \to \infty} (\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!})^2 \frac{1}{2n+1} = \frac{\pi}{2}$

$\implies \lim_{n \to \infty} (\frac{(2n)!!(2n)!!}{(2n)!})^2 \frac{1}{2n+1} = \frac{\pi}{2}$

$\implies \lim_{n \to \infty} (\frac{2^{2n} n! n!}{(2n)!})^2 \frac{1}{2n+1} = \frac{\pi}{2}$

这就推导出了沃利斯公式。

三、斯特林公式

斯特林公式是 $n!$ 的近似值， $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2n \pi} (\frac{n}{e})^n} = 1$ ，下面来证明此结论。

参考上图，数列 $A_n$ 表示曲线 $lnx, 1 \leq x \leq n$ 与 $x$ 轴之间的区域面积，则：

$A_n = \int_{1}^{n} lnx dx = lnn^n - n + 1$

数列 $B_n$ 表示 $A_n$ 的不足近似。它是将点 $(1, 0),(2, ln2),\dots,(n, ln)$ 通过直线连接，计算折线与 $x$ 轴之间由 $n-1$ 个梯形组成的区域的面积得到，则：

$B_n = \frac{1}{2}ln1 + ln2 + ln3 + \dots + ln(n-1) + ln\sqrt{n} = lnn! - ln\sqrt{n}$

数列 $C_n$ 表示 $A_n$ 的过剩近似。它是先做点 $(k, lnk)，2 \leq k \leq n-1$ 的切线，然后可以得到由切线和三条直线 $x = k - 1/2, y = 0, x = k + 1/2$ 围成的 $n-2$ 个梯形。这些梯形的面积，加上三角形 $(1, 0);(3/2,0);(3/2, 1/2)$ 的面积，再加上矩形 $(n-1/2,0);(n,0);(n, ln);(n-1/2,ln)$ 的面积得到，则：

$C_n = \frac{1}{8} + ln2 + ln3 + \dots + ln(n-1) + ln\sqrt{n}$

$B_n < A_n < C_n \implies 0 < A_n - B_n < C_n - B_n$

$\implies 0 < lnn^n - n + 1 - lnn! + ln\sqrt{n} < \frac{1}{8}$

设数列 $D_n = lnn^n - n + 1 - lnn! + ln\sqrt{n}$ ，由于 $D_n$ 单调递增且有界，故 $D_n$ 必有极限，且可得到 $n!$ 的表达式：

$n! = \sqrt{n} (\frac{n}{e})^n E_n, E_n = e^{1 - D_n}$ ，其中 $E_n$ 必有极限；

将 $n!$ 的表达式带入沃利斯公式可得：

$\lim_{n \to \infty} (\frac{2^{2n} E_n^2 (\frac{n}{e})^{2n} n}{E_{2n} (\frac{2n}{e})^{2n} \sqrt{2n}})^2 \frac{1}{2n+1} = (\lim_{x \to \infty} E_n)^2 \lim_{x \to \infty} \frac{n}{2(2n+1)}= \frac{\pi}{2}$

$\implies \lim_{x \to \infty} E_n = \sqrt{2 \pi}$

$\implies \lim_{n \to \infty} \frac{n!}{\sqrt{2n \pi} (\frac{n}{e})^n} = 1$

$\implies n! \approx \sqrt{2n \pi} (\frac{n}{e})^n$

这就证明了斯特林公式。

最后编辑于：2019.10.14 14:36:02

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 157,012评论 4赞 359
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 66,589评论 1赞 290
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 106,819评论 0赞 237
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 43,652评论 0赞 202
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 51,954评论 3赞 285
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 40,381评论 1赞 210
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 31,687评论 2赞 310
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 30,404评论 0赞 194
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 34,082评论 1赞 238
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 30,355评论 2赞 241
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 31,880评论 1赞 255
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 28,249评论 2赞 250
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 32,864评论 3赞 232
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 26,007评论 0赞 8
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 26,760评论 0赞 192
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 35,394评论 2赞 269
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 35,281评论 2赞 259

阶乘、奇数偶数阶乘的相关公式和斯特林公式的证明

一、伽玛函数

二、正弦幂的积分函数和沃利斯公式

三、斯特林公式

推荐阅读更多精彩内容