动态规划的关键点：
- 最优化原理，也就是最优子结构性质。这指的是一个最优化策略具有这样的性质，无论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的决策必须构成最优策略，简单来说就是一个最优化策略的子策略总是最优的，如果一个问题满足最优化原理，就称其有最优子结构性质。
- 无后效性，指的是某个状态下的决策的收益，只与状态和决策相关，与达到该状态的方式无关。
- 子问题的重叠性，动态规划将原来指数级的暴力搜索算法改进到了具有多项式时间复杂度的算法，其中的关键在于解决了冗余、重复计算的问题，这是动态规划算法的根本目的。
- 总体来说，动态规划算法就是一系列以空间换取时间的算法。
动态规划使用
下面通过递归方式计算问题斐波那契数列（Fibonacci sequence）来阐述分治法不是银弹。
斐波那契数列指的是这样一个数列 0,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，10946，17711，28657，46368........
斐波那契数列数学表示
这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
下面给出递归实现的代码：
/**
* 求解Fibonacci数列中第n个元素的值
* @param n 斐波那契数列中的位置
* @return Fibonacci数列中第n个元素的值
*/
public int fibonacci(int n) {
if(n<2) return n;
if(n>=2) {
return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
}
return -1;
}
通过控制台验证下算法的计算结果和计算用时。
fibonacci 0 is 0 计算用时 0ms
fibonacci 1 is 1 计算用时 1ms
fibonacci 2 is 1 计算用时 0ms
fibonacci 3 is 2 计算用时 0ms
fibonacci 4 is 3 计算用时 0ms
fibonacci 5 is 5 计算用时 0ms
fibonacci 6 is 8 计算用时 0ms
fibonacci 7 is 13 计算用时 0ms
fibonacci 8 is 21 计算用时 0ms
fibonacci 9 is 34 计算用时 0ms
fibonacci 10 is 55 计算用时 0ms
fibonacci 11 is 89 计算用时 0ms
fibonacci 12 is 144 计算用时 0ms
fibonacci 13 is 233 计算用时 0ms
fibonacci 14 is 377 计算用时 0ms
fibonacci 15 is 610 计算用时 0ms
fibonacci 16 is 987 计算用时 0ms
fibonacci 17 is 1597 计算用时 1ms
fibonacci 18 is 2584 计算用时 0ms
fibonacci 19 is 4181 计算用时 0ms
fibonacci 20 is 6765 计算用时 0ms
fibonacci 21 is 10946 计算用时 0ms
fibonacci 22 is 17711 计算用时 0ms
fibonacci 23 is 28657 计算用时 1ms
fibonacci 24 is 46368 计算用时 0ms
fibonacci 25 is 75025 计算用时 1ms
fibonacci 26 is 121393 计算用时 1ms
fibonacci 27 is 196418 计算用时 1ms
fibonacci 28 is 317811 计算用时 3ms
fibonacci 29 is 514229 计算用时 2ms
fibonacci 30 is 832040 计算用时 4ms
fibonacci 31 is 1346269 计算用时 8ms
fibonacci 32 is 2178309 计算用时 11ms
fibonacci 33 is 3524578 计算用时 20ms
fibonacci 34 is 5702887 计算用时 29ms
fibonacci 35 is 9227465 计算用时 46ms
fibonacci 36 is 14930352 计算用时 73ms
fibonacci 37 is 24157817 计算用时 127ms
fibonacci 38 is 39088169 计算用时 186ms
fibonacci 39 is 63245986 计算用时 306ms
fibonacci 40 is 102334155 计算用时 505ms
fibonacci 41 is 165580141 计算用时 816ms
fibonacci 42 is 267914296 计算用时 1298ms
fibonacci 43 is 433494437 计算用时 2110ms
fibonacci 44 is 701408733 计算用时 3423ms
fibonacci 45 is 1134903170 计算用时 5525ms
fibonacci 46 is 1836311903 计算用时 9013ms
fibonacci 47 is -1323752223 计算用时 14382ms
可以看出，n=47是出现了int类型的越界（Integer.MAX_VALUE is 2147483647）这里需要注意，计算用时达到了恐怖的14秒多。斐波那契数列的值随着增大进行指数级的增长，运行事件也是指数级的增长（n越大越能看出这一点）。
斐波那契数列-递归方法调用过程
动态规划版本
正如鲁迅先生的《狂人日记》中，孔乙己"回"字的四种写法。动态规划算法有两种等价的实现方法。
- 带备忘的自顶向下法（top-down with memoization），此方法仍按自然的递归形式编写过程，但过程会保存每个子问题的解（通常保存在一个数组或者散列表中）。当需要一个子问题的解时，过程首先检查是否已经保存过此解。如果是，则直接返回保存的值，从而节省了计算时间，否则，按通常的方式计算这个子问题。我们称这个递归过程是带备忘的（memoized）,因为它“记住”了之前计算出的结果。
以斐波那契数列的解法为例，代码如下：
long[] memo=new long[memoSize];
public long topdown(int n) {
if(n<0) return -1;
if(n<2) return n;
if(memo[n]>0) {
return memo[n];
}else {
return memo[n]=topdown(n-1)+topdown(n-2);
}
通过控制台验证下算法的计算结果和计算用时。
fibonacci 0 is 0 计算用时 0ms
fibonacci 1 is 1 计算用时 0ms
fibonacci 2 is 1 计算用时 0ms
fibonacci 3 is 2 计算用时 1ms
fibonacci 4 is 3 计算用时 0ms
fibonacci 5 is 5 计算用时 0ms
fibonacci 6 is 8 计算用时 0ms
fibonacci 7 is 13 计算用时 0ms
fibonacci 8 is 21 计算用时 0ms
fibonacci 9 is 34 计算用时 0ms
fibonacci 10 is 55 计算用时 0ms
fibonacci 11 is 89 计算用时 0ms
fibonacci 12 is 144 计算用时 0ms
fibonacci 13 is 233 计算用时 0ms
fibonacci 14 is 377 计算用时 0ms
fibonacci 15 is 610 计算用时 0ms
fibonacci 16 is 987 计算用时 0ms
fibonacci 17 is 1597 计算用时 0ms
fibonacci 18 is 2584 计算用时 0ms
fibonacci 19 is 4181 计算用时 0ms
fibonacci 20 is 6765 计算用时 0ms
fibonacci 21 is 10946 计算用时 0ms
fibonacci 22 is 17711 计算用时 0ms
fibonacci 23 is 28657 计算用时 0ms
fibonacci 24 is 46368 计算用时 0ms
fibonacci 25 is 75025 计算用时 0ms
fibonacci 26 is 121393 计算用时 0ms
fibonacci 27 is 196418 计算用时 0ms
fibonacci 28 is 317811 计算用时 0ms
fibonacci 29 is 514229 计算用时 0ms
fibonacci 30 is 832040 计算用时 0ms
fibonacci 31 is 1346269 计算用时 0ms
fibonacci 32 is 2178309 计算用时 0ms
fibonacci 33 is 3524578 计算用时 0ms
fibonacci 34 is 5702887 计算用时 0ms
fibonacci 35 is 9227465 计算用时 0ms
fibonacci 36 is 14930352 计算用时 0ms
fibonacci 37 is 24157817 计算用时 0ms
fibonacci 38 is 39088169 计算用时 0ms
fibonacci 39 is 63245986 计算用时 0ms
fibonacci 40 is 102334155 计算用时 0ms
fibonacci 41 is 165580141 计算用时 0ms
fibonacci 42 is 267914296 计算用时 0ms
fibonacci 43 is 433494437 计算用时 0ms
fibonacci 44 is 701408733 计算用时 0ms
fibonacci 45 is 1134903170 计算用时 0ms
fibonacci 46 is 1836311903 计算用时 0ms
fibonacci 47 is 2971215073 计算用时 0ms
- 自底向上法（bottom-up method），这种方法一般需要恰当定义子问题的“规模”的概念，使得任何子问题的求解只依赖“更小的”子问题的求解。因而我们可以将子问题按规模排序，按由小到大的顺序进行求解。当求解某个子问题时，它所依赖的那些更小的子问题都已经求解完毕，结果已经保存。每个子问题只需求解依次，当我们求解它（也是第一次遇到它）时，它的所有前提子问题都已求解完成。
动态规划的解法-自底向上法
long[] memo=new long[memoSize];
public long bottomup(int n) {
if(n<0) return -1;
if(n<=1) return n;
memo[0]=0;
memo[1]=1;
if(n>1) {
for(int i=2;i<=n;i++) {
memo[i]=memo[i-1]+memo[i-2];
}
}
return memo[n];
}
通过控制台验证下算法的计算结果和计算用时。
fibonacci 0 is 0 计算用时 0ms
fibonacci 1 is 1 计算用时 0ms
fibonacci 2 is 1 计算用时 0ms
fibonacci 3 is 2 计算用时 0ms
fibonacci 4 is 3 计算用时 0ms
fibonacci 5 is 5 计算用时 0ms
fibonacci 6 is 8 计算用时 0ms
fibonacci 7 is 13 计算用时 0ms
fibonacci 8 is 21 计算用时 0ms
fibonacci 9 is 34 计算用时 0ms
fibonacci 10 is 55 计算用时 0ms
fibonacci 11 is 89 计算用时 0ms
fibonacci 12 is 144 计算用时 0ms
fibonacci 13 is 233 计算用时 0ms
fibonacci 14 is 377 计算用时 0ms
fibonacci 15 is 610 计算用时 0ms
fibonacci 16 is 987 计算用时 0ms
fibonacci 17 is 1597 计算用时 0ms
fibonacci 18 is 2584 计算用时 0ms
fibonacci 19 is 4181 计算用时 0ms
fibonacci 20 is 6765 计算用时 0ms
fibonacci 21 is 10946 计算用时 0ms
fibonacci 22 is 17711 计算用时 0ms
fibonacci 23 is 28657 计算用时 0ms
fibonacci 24 is 46368 计算用时 0ms
fibonacci 25 is 75025 计算用时 0ms
fibonacci 26 is 121393 计算用时 0ms
fibonacci 27 is 196418 计算用时 0ms
fibonacci 28 is 317811 计算用时 0ms
fibonacci 29 is 514229 计算用时 0ms
fibonacci 30 is 832040 计算用时 0ms
fibonacci 31 is 1346269 计算用时 0ms
fibonacci 32 is 2178309 计算用时 0ms
fibonacci 33 is 3524578 计算用时 0ms
fibonacci 34 is 5702887 计算用时 0ms
fibonacci 35 is 9227465 计算用时 0ms
fibonacci 36 is 14930352 计算用时 0ms
fibonacci 37 is 24157817 计算用时 0ms
fibonacci 38 is 39088169 计算用时 0ms
fibonacci 39 is 63245986 计算用时 0ms
fibonacci 40 is 102334155 计算用时 0ms
fibonacci 41 is 165580141 计算用时 0ms
fibonacci 42 is 267914296 计算用时 0ms
fibonacci 43 is 433494437 计算用时 0ms
fibonacci 44 is 701408733 计算用时 0ms
fibonacci 45 is 1134903170 计算用时 0ms
fibonacci 46 is 1836311903 计算用时 0ms
fibonacci 47 is 2971215073 计算用时 0ms
总结
同样规模的斐波那契数列的计算问题，动态规划版本的都能在很短的时间内计算完毕，递归的解决方案，在小于50的情况下就出现了十几秒的计算情况，动态规划的运行时间的提升很明显。
动态规划解决走台阶问题
有n级台阶，每次上一级或者两级，问有多少种走完n级台阶的方法。
分析：动态规划的实现的关键在于能不能准确合理的用动态规划表来抽象出 实际问题。在这个问题上，我们让f(n)表示走上n级台阶的方法数。
那么当n为1时，f(n) = 1,n为2时，f(n) =2,就是说当台阶只有一级的时候，方法数是一种，台阶有两级的时候，方法数为2。那么当我们要走上n级台阶，必然是从n-1级台阶迈一步或者是从n-2级台阶迈两步，所以到达n级台阶的方法数必然是到达n-1级台阶的方法数加上到达n-2级台阶的方法数之和。即f(n) = f(n-1)+f(n-2)，我们用dp[n]来表示动态规划表，dp[i],i>0,i<=n,表示到达i级台阶的方法数。
动态规划的解法-自底向上法
long[] memo=new long[memoSize];
public long stepBottomup(int n) {
if(n<0) return 0;
if(n==1) return 1;
if(n==2) return 2;
memo[0]=1;
memo[1]=2;
if(n>1) {
for(int i=2;i<n;i++) {
memo[i]=memo[i-1]+memo[i-2];
}
}
return memo[n-1];
}
通过控制台验证下算法的计算结果和计算用时。
走台阶方案数 楼梯数 1 走法 is 1 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 2 走法 is 2 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 3 走法 is 3 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 4 走法 is 5 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 5 走法 is 8 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 6 走法 is 13 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 7 走法 is 21 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 8 走法 is 34 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 9 走法 is 55 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 10 走法 is 89 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 11 走法 is 144 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 12 走法 is 233 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 13 走法 is 377 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 14 走法 is 610 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 15 走法 is 987 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 16 走法 is 1597 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 17 走法 is 2584 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 18 走法 is 4181 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 19 走法 is 6765 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 20 走法 is 10946 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 21 走法 is 17711 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 22 走法 is 28657 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 23 走法 is 46368 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 24 走法 is 75025 计算用时 1ms
走台阶方案数 楼梯数 25 走法 is 121393 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 26 走法 is 196418 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 27 走法 is 317811 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 28 走法 is 514229 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 29 走法 is 832040 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 30 走法 is 1346269 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 31 走法 is 2178309 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 32 走法 is 3524578 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 33 走法 is 5702887 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 34 走法 is 9227465 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 35 走法 is 14930352 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 36 走法 is 24157817 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 37 走法 is 39088169 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 38 走法 is 63245986 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 39 走法 is 102334155 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 40 走法 is 165580141 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 41 走法 is 267914296 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 42 走法 is 433494437 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 43 走法 is 701408733 计算用时 1ms
走台阶方案数 楼梯数 44 走法 is 1134903170 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 45 走法 is 1836311903 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 46 走法 is 2971215073 计算用时 0ms
走台阶方案数 楼梯数 47 走法 is 4807526976 计算用时 0ms
这里只给出其中的一种解法，至于另一种解法，大家尝试的写下。
以上，谢谢阅读，希望你有所收获！
算法导论公开课笔记（一）算法分析与设计
算法导论公开课笔记（二）快速排序和随机化算法
算法导论公开课笔记（三）线性时间排序
算法导论公开课笔记（四）顺序统计、中值
动态规划算法
参考链接
动态规划算法经典案例
