基础-7:拓扑排序

在前面的课程中,讲述了图的两种基本表示方法:邻接表和邻接矩阵,以及两种基本的遍历:广度遍历和深度遍历。在此基础上,我们一起探讨图的第一个基本的应用:拓扑排序。

什么叫拓扑排序?请大家先看下面的一张图:


图1:课程表拓扑关系例子

所谓拓扑排序,就是根据有向图中的偏序关系,对图中的节点进行排序。对于图1中的例子而言,排课老师的任务是:根据课程之间的先修关系,每个学期合理安排课程,保证每门课的先修课都必须安排在这门课的前面。如果是你,你如何排?

在进一步思考之前,首先应该明白,只有有向无环图才有拓扑排序,无向图和有环的有向图都不可能有拓扑排序。

在没有学习图论之前,大家的想法可能是:先找到所有入度为0的节点,然后顺着这些节点继续寻找,但是顺着这些节点后面的寻找规则是什么?如C9的入度为0,顺着C9,有C10、C11和C12,这三者又是什么关系呢?进一步,可以发现C10是C12的先修课程,也就是拓扑排序中,C9必须安排在C10之前,C10必须安排在C12之前。但是到现在为止,我们并未明确表述这些规则是什么?

拓扑排序的根本目的是:根据图节点之间的偏序关系,对图进行排序。偏序关系在有向图中的表现就是有向边,再进一步,我们可以看作是在图的遍历过程中对其进行排序。考虑前面课程中学习的广度遍历和深度遍历,广度遍历是对外逐层扩展,主要用于求源节点到所有其它节点的最短路径,体现的是距离;深度遍历则是对当前节点,依据有向边对当前的邻接节点继续深入遍历,整个遍历过程其实质就体现了拓扑排序中的关系。

以C9、C10、C11、C12为例,对其拓扑排序的可能包括(三种典型的,还有其它类似几种可能):

  • C9(1/12) -> C10(2/5) -> C12(3/4) -> C11(6/11) -> C6(7/10) -> C8(8/9)
  • C9(1/12) -> C12(2/3) -> C10(4/5) -> C11(6/11) -> C6(7/10) -> C8(8/9)
  • C9(1/12) -> C11(2/7) -> C6(3/6) -> C8(4/5) -> C12(8/9) -> C10(10/11)

上面列出的节点中的括号中的数据C9(m/n),m表示发现节点的时间,n表示当前节点的所有邻接节点已全部发现的完成时间(忘记的童鞋请查阅:前面课程),如果按照完成时间倒排会是什么?上面的三种的排列结果分别为:

  • C9, C11, C6, C8, C10, C12
  • C9, C11, C6, C8, C10, C12
  • C9, C10, C12, C11, C6, C8

仔细观察,上面的排序结果均满足前文提到的先修关系(提示:拓扑排序可能不止一种),即:深度遍历的完成时间倒排序即是拓扑排序结果,下面对其进行分析证明:

分析:假设图G(V, E),对于图中任意节点v,v.d表示发现节点v的时间,v.f表示v的所有邻接节点遍历完成的时间, 若有(u, v)是E中的一条边,只需要证明v.f < u.f。 对E中的任意边(u, v),在深度遍历中,当通过u对v进行探索时,v肯定不是灰色(如果v是灰色,则表示v的邻接节点深度遍历还未结束,u肯定是v的后继节点,则u和v构成了环,这种情况下,不可能存在拓扑排序),如果v是白色,则必然有v.f < u.f成立;如果v是黑色,则表示v的邻接节点已经遍历完成,v.f < u.f显然成立。由此:结论成立。(注意:深度遍历中,节点v为白色表示还未发现v,为灰色表示v被发现,并开始访问其邻接节点,为黑色表示v的所有邻接节点已访问完毕,结束v的访问)

因此,图的深度遍历中记录的遍历访问结束时间就是拓扑排序的依据,当然,其原理其实也很简单,童鞋们只需仔细把这个证明分析推敲一遍就形了。相应的源代码请见( https://github.com/bjutJohnson/Algorithms/blob/master/src/graph/graph_manager.go )中的TopologySort函数。

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