博弈论基础知识: 巴什博奕+威佐夫博奕+尼姆博弈(及Staircase)

姓名:李嘉蔚学号:16020520034

【嵌牛导读】:介绍一些博弈,因为算法有时候就是应用在博弈问题上。

【嵌牛鼻子】:巴什博奕(Bash Game)。威佐夫博奕(Wythoff Game)。尼姆博奕(Nimm Game)。Nim Staircase博奕。

【嵌牛提问】:什么是巴什博奕(Bash Game)。威佐夫博奕(Wythoff Game)。尼姆博奕(Nimm Game)。Nim Staircase博奕?

【嵌牛正文】:

(一)巴什博奕(Bash Game):

只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规定每次至少取一个,最多取m个.最后取光者得胜.

若(m+1) | n,则先手必败,否则先手必胜。

显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜.因此我们发

现了如何取胜的法则:如果n=(m+1)r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k(≤m)个,那么先取者再拿

走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜.总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜.

(二)威佐夫博奕(Wythoff Game):

有两堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆或同时从两堆中取同样多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜.

奇异局势下先手必败,非奇异局势下先手必胜。

这种情况下是颇为复杂的.我们用(ak,bk)(ak ≤bk ,k=0,1,2,...,n)表示两堆物品的数量并称其为局势,如果甲面对(0,0),那么甲已经

输了,这种局势我们称为奇异局势.前几个奇异局势是:(0,0)、(1,2)、(3,5)、(4,7)、(6,10)、(8,13)、(9,15)、(11,18)、(12,20).

可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出现过的最小自然数,而bk= ak + k,奇异局势有如下三条性质:

1、任何自然数都包含在一个且仅有一个奇异局势中.

由于ak是未在前面出现过的最小自然数,所以有ak > ak-1 ,而bk= ak + k > ak-1 + k-1 = bk-1 > ak-1 .所以性质1.成立.

2、任意操作都可将奇异局势变为非奇异局势.

事实上,若只改变奇异局势(ak,bk)的某一个分量,那么另一个分量不可能在其他奇异局势中,所以必然是非奇异局势.如果使(ak,bk)的两

个分量同时减少,则由于其差不变,且不可能是其他奇异局势的差,因此也是非奇异局势.

3、采用适当的方法,可以将非奇异局势变为奇异局势.

假设面对的局势是(a,b),若b = a,则同时从两堆中取走a 个物体,就变为了奇异局势(0,0);如果a = ak ,b > bk,那么,取走b - bk个物

体,即变为奇异局势;如果a = ak , b < bk ,则同时从两堆中拿走ak - ab - ak个物体,变为奇异局势( ab - ak , ab - ak+ b - ak)

;如果a > ak ,b= ak + k,则从第一堆中拿走多余的数量a - ak 即可;如果a < ak ,b= ak + k,分两种情况,第一种,a=aj (j < k),从

第二堆里面拿走b - bj 即可;第二种,a=bj (j < k),从第二堆里面拿走b - aj 即可.

从如上性质可知,两个人如果都采用正确操作,那么面对非奇异局势,先拿者必胜;反之,则后拿者取胜.

那么任给一个局势(a,b),怎样判断它是不是奇异局势呢?我们有如下公式:

ak =[k(1+√5)/2](下取整), bk= ak + k (k∈N)

奇妙的是其中出现了有关黄金分割数的式子:(1+√5)/2 =1.618...,若两堆物品个数分别为x,y(x<y),则k=y-x,再判断x是否等于[(y

-x)*( √5+1)/2] 即可得知是否是奇异局势。

参考例题:POJ1067取石子游戏

参考代码:

var a,b:longint;begin repeat readln(a,b); if a>b then begin a:=a xor b; b:=a xor b; a:=a xor b; end; if a=trunc((b-a)*(sqrt(5)+1)/2) then writeln(0) else writeln(1); until seekeof;end.

(三)尼姆博奕(Nimm Game):

有三堆各若干个物品,两个人轮流从某一堆取任意多的物品,规定每次至少取一个,多者不限,最后取光者得胜.

这种情况最有意思,它与二进制有密切关系,我们用(a,b,c)表示某种局势,首先(0,0,0)显然是奇异局势,无论谁面对奇异局势,都必然失

败.第二种奇异局势是(0,n,n),只要与对手拿走一样多的物品,最后都将导致(0,0,0).仔细分析一下,(1,2,3)也是奇异局势,无论对手如

何拿,接下来都可以变为(0,n,n)的情形.

计算机算法里面有一种叫做按位模2加,也叫做异或的运算,我们用符号xor表示这种运算.这种运算和一般加法不同的一点是1+1=0.先看

(1,2,3)的按位模2加的结果:

1 =二进制01

Xor 2 =二进制10

Xor 3 =二进制11

———————

0 =二进制00

对于奇异局势(0,n,n)也一样,结果也是0.

任何奇异局势(a,b,c)都有a xor b xor c =0。该结论可以推广至若干堆,都是成立的。

如果我们面对的是一个非奇异局势(a,b,c),要如何变为奇异局势呢?假设a < b< c,我们只要将c 变为a xor b,即可,因为有如下的运算

结果: a xor b xor (a xor b)=(a xor a) xor (b xor b)=0 xor 0=0.要将c 变为a xor b,只要从c中减去c-(a xor b)即可.

(四)Nim Staircase博奕:

这个问题是尼姆博弈的拓展:游戏开始时有许多硬币任意分布在楼梯上,共n阶楼梯从地面由下向上编号为0到n。游戏者在每次操作时

可以将楼梯j(1<=j<=n)上的任意多但至少一个硬币移动到楼梯j-1上。游戏者轮流操作,将最后一枚硬币移至地上(0号)的人获胜。

算法:将奇数楼层的状态异或,和为0则先手必败,否则先手必胜。证明略。

例题:Poj1704

这道题可以把两个棋子中间间隔的空格子个数作为一堆石子,则原题转化为每次可以把左边的一堆石子移到相邻的右边的一堆中。也就

是阶梯尼姆博弈,注意对输入数据先排序,然后倒着往前数(a[n]-a[n-1]-1为第一个),奇数个数到的就做一下xor,其中最前面的看

做a[1]-0-1,参考程序:

var t,n,b,i,j:longint; a:array[0..1000]of longint;begin readln(t); repeat dec(t); readln(n); for i:=1 to n do read(a[i]); qsort(1,n);//快排略 j:=0; b:=0; for i:=n downto 1 do begin inc(j); if odd(j) then b:=b xor (a[i]-a[i-1]-1); end; if b=0 then writeln('Bob will win') else writeln('Georgia will win'); until t=0;end.

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