32位浮点数

浮点数的计算方式
float = (-1)^s*2^{(e-127)}*1.m

其中s是符号位,e是指数位,m是有效数位组成的数。
m的计算方式是
m = 1*2^{-1}+0 * 2^{-2}+1*2^{-3}+0*2^{-4}+...+0*2^{-23}=0.625

所以上图表示的数字就是
value = (-1)^{0}*2^{129-127}*1.625=6.5

采用这种表示方式的结果是,两个浮点数之间的“间隔”是均匀的。
什么意思?
比如说,我想表示浮点数1的话,那么我的二进制位就是:
0 01111111 00000000000000000000000
我想表示2的话,二进制位就是
0 10000000 0000000000000000000000
1和2之间,我能表示的数是有限的,比1大的浮点数,最小的值我只能取到
0 01111111 00000000000000000000001
也就是上述的m是2的-23次方,这就是浮点数的“精度”!于是,你可以看到c++标准库中有一个这个函数:

std::numeric_limits<float>::epsilon()

这个值就是2的-23次方!

还有一点,很明显,用上面的式子,我们没法把值精确地表示0,这显然是无法接受的。于是浮点标准就对e=0的情况做了额外的规定,也就是说当e等于0的时候浮点值就不是乘以1.m,而是乘以0.m。也就是说,如果有效值m是0的话,那么浮点值表示的数字就是0,没有歧义!

接着,如果1.m的1没有的话,我们能表示的最小的值就是0.000...1(2进制)*2(-126),也就是2(-126) * 2^(-23),大约是1.4012985 * 10 ^ (-45)。

我用下面的代码尝试做了输出:

    std::cout.precision(15);
    
    uint8_t array[4] = {0};
    array[3] = 0x3F; array[2] = 0x80;
    float* f = reinterpret_cast<float*>(array);
    std::cout << "f = " << *f <<std::endl;
    
    uint8_t array1[4] = {0};
    array1[3] = 0x3F; array1[2] = 0x80; array1[0] = 0x1;
    float* f1 = reinterpret_cast<float*>(array1);
    std::cout << "f1 = " << *f1 << std::endl;
    
    uint8_t array2[4] = {0};
    array2[2] = 0x7F; array2[1] = 0xFF; array2[0] = 0xFF;
    float* f2 = reinterpret_cast<float*>(array2);
    std::cout << "f2 = " << *f2 << std::endl;
    
    uint8_t array3[4] = {0};
    array3[0] = 0x1;
    float* f3 = reinterpret_cast<float*>(array3);
    std::cout << "f3 = " << *f3 << std::endl;

结果是:



与预想的一致。

最后,IEEE 754标准保证-0.0严格等于0.0!

如果e等于255,这种情况同样会被特殊处理。e=255,m=0的话,这就表示无限大,用cout输出就是inf。但如果e=255,m!=0的话,那么这就是一个无效值,输出的结果是nan,尝试代码和结果如下:

    uint8_t array4[4] = {0};
    array4[3] = 0x7F; array4[2] = 0x80;
    float* f4 = reinterpret_cast<float*>(array4);
    std::cout << "f4 = " << *f4 << std::endl;
    
    uint8_t array5[4] = {0};
    array5[3] = 0x7F; array5[2] = 0x80; array5[0] = 0x3F;
    float* f5 = reinterpret_cast<float*>(array5);
    std::cout << "f5 = " << *f5 << std::endl;

于是,我们能表示的最大有效值是1.1111111(二进制)* 2 ^ 127,也就是3.402823... * 10^38。测试代码和结果如下:

    uint8_t array6[4] = {0};
    array6[3] = 0x7F; array6[2] = 0x7F; array6[1] = 0xFF; array6[0] = 0xFF;
    float* f6 = reinterpret_cast<float*>(array6);
    std::cout << "f6 = " << *f6 << std::endl;

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