树的基本概念
树（Tree）是n（n>=0)个结点的有限集。n=0时称为空树
在任意一颗非空树中：
-
根（Root）结点
有且仅有一个根（Root）结点，例如A就是root结点 -
子树、左子树、右子树
例如：B是A的子树，E是B的左子树，F是B的右子树 -
结点的度（degree）：子树的个数
例如：A结点的度是3，B结点的度是2 -
树的度：所有结点度中的最大值
例如：A和D结点结点的度最大，都是3，所以树的度就是3 -
叶子结点（leaf）：度为 0 的结点
例如：F结点 -
非叶子结点：度不为 0 的结点
例如：E结点 -
层数（level）
A结点是第一层，BCD结点是第二层,以此类推 -
结点的深度（depth）从根结点到当前结点的唯一路径上的结点总数
例如：B结点的深度是2，E结点的深度是3 -
结点的高度（height）：从当前结点到最远叶子结点的路径上的结点总数
例如：B结点的高度是3，F结点的高度是1 -
树的深度：所有结点深度中的最大值
K结点的深度最大是4，就是树的深度 -
树的高度：所有结点高度中的最大值
A结点的高度最大是4，就是树的高度
树的深度 等于 树的高度
-
有序树
树中任意结点的子结点之间有顺序关系 -
无序树
树中任意结点的子结点之间没有顺序关系
也称为自由树 -
森林
由m（m ≥ 0）棵互不相交的树组成的集合
二叉树（Binar y Tree）
二叉树的特点
- 每个结点的度最大为
2（最多拥有2棵子树） - 左子树和右子树是有顺序的
- 即使某结点只有一棵子树，也要区分左右子树
二叉树是有序树
二叉树的性质
- 非空二叉树的第
i层，最多有2^(i − 1)个结点（i ≥1) - 在高度为
h的二叉树上最多有2^h - 1个结点（h≥1) - 对于任何一棵非空二叉树，如果叶子结点个数为
n0，度为2的结点个数为n2，则有:n0 = n2 + 1
论证:
假设度为1的结点个数为n1，那么二叉树的结点总数n = n0 + n1 + n2
二叉树的边数T=n1 + 2 * n2=n – 1=n0 + n1 + n2 – 1
因此n0 = n2 + 1
真二叉树（Proper Binar y Tree）
所有结点的度都要么为 0，要么为 2
满二叉树（Full Binar y Tree）
- 最后一层结点的度都为
0，其他结点的度都为2 - 在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子结点数量最多、总结点数量最多
- 满二叉树一定是真二叉树，真二叉树不一定是满二叉树
假设满二叉树的高度为 h（ h ≥ 1 ）
那么第 i 层的结点数量： 2^(i −1)
叶子结点数量： 2^(h −1)
总结点数量 n
n = 2^h - 1 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + ⋯ + 2^(h-1)
h = log2(n + 1)
完全二叉树（Complete Binar y Tree）
完全二叉树：对结点从上至下、左至右开始编号，其所有编号都能与相同高度的满二叉树中的编号对应
◼ 叶子结点只会出现最后
2 层，最后 1 层的叶子结点都靠左对齐◼ 完全二叉树从根结点至倒数第
2 层是一棵满二叉树◼ 满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树
完全二叉树的性质
◼ 度为 1 的结点只有左子树
◼ 度为 1 的结点要么是 1 个，要么是 0 个
◼ 同样结点数量的二叉树，完全二叉树的高度最小
假设完全二叉树的高度为h（ h ≥ 1 ），那么
- 至少有
2^(h-1)个结点 （2^0+2^1+2^2+ ⋯ +2^(h-2)+1） - 最多有
2^h - 1个结点（2^0+2^1+2^2+ ⋯ +2^(h-1)，满二叉树 ）
总结点数量为n
✓2^(h-1)≤n<2^h
✓h-1<log2n<h
✓h=floor( log2n ) + 1
➢floor是向下取整，另外，ceiling是向上取整
一棵有 n 个结点的完全二叉树（n > 0），从上到下、从左到右对结点从 1 开始进行编号，对任意第 i 个结点
- 如果
i = 1，它是根结点 - 如果
i > 1，它的父结点编号为floor( i / 2 ) - 如果
2i ≤ n，它的左子结点编号为2i - 如果
2i > n，它无左子结点 - 如果
2i + 1 ≤ n，它的右子结点编号为2i + 1 - 如果
2i + 1 > n，它无右子结点
面试题
如果一棵完全二叉树有 768 个结点，求叶子结点的个数?
假设叶子结点个数为n0，度为 1 的结点个数为 n1，度为 2 的结点个数为 n2
总结点个数 n = n0 + n1 + n2 ，而且 n0 = n2 + 1
n = 2n0 + n1 – 1
完全二叉树的 n1 要么为 0 ，要么为 1
1. n1为1 时，n = 2n0 ， n 必然是偶数
➢ 叶子结点个数 n0 = n / 2 ，非叶子结点个数 n1 + n2 = n / 2
2. n1 为 0 时，n = 2n0 – 1 ， n 必然是奇数
➢ 叶子结点个数 n0 = (n + 1) / 2，非叶子结点个数 n1 + n2 = (n – 1) / 2
◼叶子结点个数 n0 = floor( (n + 1) / 2 ) = ceiling( n / 2 )
◼非叶子结点个数 n1 + n2 = floor( n / 2 ) = ceiling( (n – 1) / 2 )
◼因此叶子结点个数为 384
国外教材的说法
-
Full Binary Tree：完满二叉树
所有非叶子结点的度都为2
就是国内说的“真二叉树”
-
Perfect Binary Tree：完美二叉树
所有非叶子结点的度都为2，且所有的叶子结点都在最后一层
就是国内说的“满二叉树”
-
Complete Binary Tree：完全二叉树
跟国内的定义一样
