关于微积分,学校怎么没教过这么简单的入门技巧!

说起微积分,大家有什么印象?想必很多人会联想到棘手的计算吧。甚至还会有人想到这种情景——在学校的考试中,只是因为计算稍稍出错,就被大幅扣分,凄惨至极。

哎呀,这位姑娘似乎认为解决微积分问题,只要套用背诵的公式就足够了。这就是那种在学校的考试中掌握了应试要领的典型人物。

不过,对于如何看待微积分,还存在像上面这位博士一样的一类人,虽然会计算微积分更好,但最开始学习微积分时,重点并不在计算上。

数学家是擅长数学的人,所以他们也很擅长计算吧?不,不一定是这样的。令人意外的是,数学家不仅会有不少单纯的计算失误,而且也常常会在思路上出现错误。

创立了组合拓扑学的天才数学家亨利·庞加莱也是经常犯错误的,据说就连他的论文中也存在不少错误。

但是,庞加莱思考的方向在本质上是准确无误的。只要思考的方向正确,即使稍微出点儿差错,对整体而言也并不是致命的。在学校,考试之所以依据计算结果的正确与否来确定成绩,是因为根据思路来给分数比较困难。

同样,本文的侧重点也放在了“思考的要领”上,我认为这是微积分的本质。微积分的本质在于方法。简单说,如果抓住思考的“要领”,那么就能轻而易举地理解复杂算式。思考的方向找对了,之后只要根据需求掌握计算技术就可以了。

本文中几乎没有出现积分符号。你可能会担心,不用积分符号的话是否能够真正理解相关内容。其实,先接触微积分的本质内容,之后出现的公式、算式将会意外地变得易于理解。

积分的存在意义

积分应用的基础

小学所学的图形面积、体积的计算,实际上是与积分世界相连通的。积分之所以会出现,是因为人类需要把握那些可见的东西,例如计算物体的面积、体积等。

初等教育中的图形计算,通常只针对长方形、圆形等规规矩矩的图形。而现实情况中,这些知识往往难以直接去应用。

这是因为,现实世界中存在的物质,并非都是学校中学习的那些规则的形状。相反,那些规则的形状可以说只是例外或理想化的情况。所以,对人类而言,测量现实情况中各种复杂图形大小的技术非常必要。

日本小学的家政课会讲授乌冬面、土豆块等简易料理的烹饪方法。之所以特地在学校中讲授这些内容,是因为这些都是烹饪中的基础方法。实际上我们自己做菜时,多会在商店中购买成品的乌冬面,也基本不会频繁烹制土豆块。但是,如果掌握了这些基础烹饪方法的话,就能够烹制出更多复杂的菜品。例如,乌冬面的烹饪方法可以运用到面包、比萨或者意大利面中,从土豆块中学到的方法可以拓展到土豆沙拉或者油炸饼中。

如果把在小学初中学的长方形、圆形的知识比作乌冬面、土豆块,那么微积分就相当于面包、土豆沙拉等应用性料理。多亏有了积分法,人类才能够计算各种图形的面积和体积。使用积分,无论是多么奇怪的形状,只要下功夫就能够计算出结果,这真是巨大的进步。

将思考应用于实际,用自己的力量去推导面积、体积,这才是积分的乐趣,也是学习积分的真正意义。

所有图形都与长方形相通

图形的种类纷繁多样,其中面积计算最为简单的就是“长方形”了。

说到这里,大家是不是想起了小学时初学面积计算的情景?在图形面积计算中,三角形、平行四边形、梯形、圆形等图形都是放到长方形之后学习。长方形的面积仅用“长×宽”就可以计算,可以说是最简单、朴素的图形。顺便提一下,在数学世界中,正方形被看作是“一种特殊的长方形”。

掌握长方形面积的计算方法后,就可以将其应用到三角形的面积计算中。反过来说,如果不知道长方形面积的计算方法,也就无法计算三角形的面积。

这是因为,三角形的面积可以看作是“以三角形的一条底边为边长、该边上的高为另一边的长方形面积的一半”。根据图2可知,三角形的面积正好是对应长方形面积的一半,也就是说“三角形的面积=底×高÷2”。

那平行四边形是什么情况呢?平行四边形可以看作是两个以平行四边形的边为底边的三角形的组合。

梯形的情况又如何呢?梯形可以看作平行四边形的一半。如图4所示,两个相同的梯形并列组合形成了平行四边形。因此,梯形的面积也是以长方形为基础计算的,为“(上底+下底)×高÷2”。

从三角形到平行四边形,再到梯形,虽然这三个图形看上去没什么直接关联,但它们的面积公式都是以长方形面积为基础推导出来的。

和变为了积分

计算圆的面积时,小学中采用的方法是用“正方形”来划分圆的内部空间。这样做的原因实际上很简单,就是因为方格纸的方格是正方形。

求圆的面积,要领是精细地划分圆。也就是说,划分的形状应该不限于正方形。因此,我们可以把圆分成“细长的短条”来求面积。比如图8,我们尝试把圆分成细长的短条,也就是长方形的组合。

虽说如此,但既然说到了符号,从现在开始我们就尝试使用积分符号吧。公式也会从此处开始出现,不过内容和刚才的讲解是完全一致的,所以请轻松地读下去。和业界人士使用行业术语讲话一样,使用数学符号讲解数学,相同的内容在表达上也会看起来非常优雅。

在图9中,我们把圆裁切成非常窄的短条。水平方向为x轴。这时,圆的裁切方向和x轴正好是垂直关系。

在此基础之上,我们选取一条宽度为Δx的短条。Δ是希腊字母,读作“德尔塔”(Delta),多用作“差”(difference)的符号,表示非常小的数值。

现在,我们用公式来表示这条短条的面积。

短条的面积=短条在x值对应的长度×Δx

若问为什么要算出短条面积,这是因为我们要从这里开始计算圆的面积。把这些细长短条的面积相加,就是圆的面积。具体来说,把从左端到右端的短条全部相加就可以了。

在这里,我们逐渐缩小短条的宽度,缩小到再也不能缩小的程度。这样一来,短条与其说是长方形,倒不如说看起来更像“一条线”。无数根“线”相加,其结果逐渐接近“圆的面积”。用积分符号来表示的话,可以写成以下形式。

公式中那个像把字母S纵向拉长的符号音同integral(积分)。积分原本就是“和”的意思,因此积分符号也是取自拉丁语中“和”的单词Summa的首字母S。这是一位叫作莱布尼茨的数学家(兼哲学家)提出的。

在此简单补充一点儿德尔塔(Δ)和d的内容。

Δ和d,这两个符号都源于“差”(difference)。二者的不同之处在于,Δ是“近似值”,而英文小写字母d是“精确值”。

“精确值”是什么意思呢?例如圆周率π,3.14是其近似值,无限循环的3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279…就是其“精确值”。近似值在某种情况下必定是不正确的,而精确值在任何情况下都是正确的。

所以,我们可以这样理解dx:“将原本用短条宽度Δx计算的数值,看作趋向于0的‘精确值’。”

总结一下,德尔塔(Δ)和英文小写字母d分别在以下情况中使用。

德尔塔(Δ)——当存在宽度(宽度大于0)之时。

英文小写字母d——当宽度趋向于0,计算极限数值时。

另外,虽然微积分中会出现各种各样的公式、符号,不过初学者最开始不太理解这些东西也没有关系,对Δ和d也同样如此。

感觉和逻辑

初中入学考试中的积分

我们来思考两方面内容:“有效分割图形的方法”和“积分符号的使用方法”。为了便于讲解,我选取了初中入学考试试题,并尝试使用积分方法解答。

下面,我们将接触到旋转体。旋转体的体积是日本高中教科书中必定会出现的内容,初中入学考试中则常常会出现简单的旋转体题目,例如下面的题目。

如图所示,存在一个半径为2 cm的圆板,距离该圆板圆心4 cm处存在一条竖轴,让圆板以竖轴为轴旋转一周,求出此时所形成的图形的体积。

题目出自日本东海大学附属高轮台高等学校中等部2007年入学考试试题,内容表述有部分修改。

该如何解答这个问题?

圆板绕轴旋转一周,这时会变成什么样的图形呢?

如图43所示,圆板旋转后就变成了这种甜甜圈形。这种甜甜圈的形状在数学中被称作圆环体。

为了计算出圆环体的体积,我们来寻找最朴素的“积分”法。那什么样的方法最有效呢?

如图44所示, 我们可以考虑从水平方向切割圆环体。

如图45所示,切割圆环体所得的截面如同从一个大圆中挖去了一个同心的小圆。求截面面积的话,只要知道大圆和小圆的半径就可以了。计算方法和计算钵体截面面积时的相同。

难点在于,圆的半径该如何计算呢?

下面来尝试将我们的思路画到题目给出的图中。取旋转轴为x轴,并将各个点标注上字母(图46)。

在x轴取点H。这样一来,图45截面上的两个圆,大圆的半径为AH,小圆的半径为BH。

实际上,我们的思路中最关键的一点在于“用H的高度去切割圆环体”。着眼于这点就可以发现:我们可以使用勾股定理。

接着,设点A、点B的中点为M。这时,根据勾股定理可知,AM(BM)的长为根号下4−x2。也就是说,大圆的半径AH为

小圆的半径BH为

具体的计算过程在此省略。

圆环体的体积可以看作是,在从下面(x=−2)到上面(x=2)的范围内,众多厚度为Δx的截面积(薄切片)的组合(截面积之和)。使用积分符号,可以用如下表示:

这样一来,我们就求出了圆环体的体积。

我们来思考一下这个式子中“有意义的部分”。从整体结构看,16π可以最后乘进去,所以可以先不管它。首先应该求的部分是

但是,这种办法并非能轻易想到。所以,在目前的阶段,大家可不必过分在意,先继续往下读。

也就是说,这个积分式子的答案和图48的半圆面积相等。即为

然后再乘以刚才跳过的16π,可得圆环体的体积为

圆环体看上去像是两个圆相乘形成的图形,在其体积计算中出现π的2次方确实非常有趣。在数学中,圆环体被定义为“圆和圆的笛卡儿积(准确来说,是圆环和圆周的笛卡儿积)”。说圆环体是两个圆相乘的图形,可谓恰如其文字之意——不,是恰如数字之意。

像小学生那样求圆环体体积

前文说到的求解方法可以说是大人的解题方法。但是,这种方法很难向连勾股定理和积分符号都不知道的小学生解释。

不用前文的方法,该怎样分割呢?适合向小学生讲解的方法是“分割成细方格来求圆的面积”。但是,逐一数方格数量会相当花费时间,所以我们来试一试新的方法。

为了转换思路,这里我先介绍一下“把圆分成扇形求圆面积的方法”。我们的目标是求圆环体的体积,但这一目标可以通过使用与“把圆分成扇形求圆面积的方法”类似的思路来实现。圆环体是立体图形,所以很难整体去想象,不过若是圆的话便容易形象化了。

如图49所示,将圆分成细小的扇形,然后让扇形上下交叉相互交错排列。由此,我们便得到了一个“平行四边形”。

当然,扇形的弧是弯曲的,所以形成的平行四边形也有些弯曲。但是,如果逐渐分割出更加细小的扇形,就几乎看不见弯曲的弧了,到了最后我们差不多就可以将弧看作直线段。通过无限分割出更小的扇形,平行四边形的精确度会大幅提升。这时,平行四边形的高就会恰好等于圆的半径,底边则等于圆周长的一半(π×半径)。也就是说,平行四边形的面积接近等于“π×半径×半径”。因此,圆的面积也就等于“半径×半径×π”。

以上内容即为推导圆面积公式的“小学生式”方法。

把甜甜圈变成蛇的方法

结合前文推导圆面积的“小学生式”方法,下面我们开始研究圆环体的体积。依然是用相同的思路,想办法分割圆环体。这次我们不水平分割了,来试试从垂直方向分割(图50)。

垂直分割圆环体后,所得的截面正好是小小的圆。

为了进一步研究截面的圆,我们先将其8等分。然后使用圆分割后的扇形交错排列的技巧,相互交错排列圆环体。

这样一来,圆环体就会被重构成弯弯曲曲的蛇形。

在这里使用的模型是美仕唐纳滋的白巧克力米粉甜甜圈。不用甜甜圈的话,用百吉圈也可以。先将甜甜圈8等分,如图53。

把切好的甜甜圈交错排列,就会形成以下图形(图54)。

可以看到,重新排列后的甜甜圈确实变成了蛇形的立体图形。

在这里我们是将甜甜圈8等分,如果进行更加精细的分割,如100等分、200等分……蛇形的立体图形会更加接近圆柱形(横倒的圆柱形)。

也就是说,如图51所示,圆柱的底面是半径为2的圆,而高则是半径为4的圆的周长(圆围绕竖轴旋转一周的圆心轨迹长度),即8π。

因此,我们所求的圆环体体积,就转化成了底面积为π×2²、高为8π的圆柱(图55)的体积,即为

圆周率可以约等于3.14,代入3.14,可以求出圆环体的体积为315.507 2 cm³。

我们顺便来求一下白巧克力米粉甜甜圈的体积,甜甜圈截面圆的半径为1.5 cm,甜甜圈的直径为8 cm。

也就是说,图51中画粗线的圆的半径为8÷2-1.5=2.5 cm。因此,甜甜圈的体积等于底面积为π×1.5²、高为2π×2.5 cm的圆柱的体积,即为

这大概和棱长为4.8 cm的立方体体积相当。

帕普斯—古尔丁定理

在日本中学的入学考试中,存在一个求旋转体体积的“秘技”——帕普斯—古尔丁定理。

下面我们使用这个定理计算旋转体的体积。

在前面的圆环体中,“旋转的平面图形”是半径为2的圆,其面积为2×2×π=4π。

接着是“旋转面重心所经过的距离”,这道题里的“重心”大家可以理解为是“旋转体的正中央”。重心经过的距离等同于圆柱的高,所以是4×π×2=8π。

把这些数据代入帕普斯—古尔丁定理,可得“旋转体的体积”为4π×8π=32π²。

不少机灵的小学生都知道这个“秘技”,在实际的考试中肯定也有考生使用这个定理。但是,真正要来解释这个计算原理,如大家所见,还真不是一件容易的事情。

将圆环体变形成圆柱,我们可以从这个过程中窥得积分的要领。

实际上,使用相同的方法也可以计算圆环体的“表面积”。

在图55中能够确认,圆环体的表面积等于“底面半径为2、高为8π的圆柱的侧面积”。因此,半径为2的圆的周长为2×2×π=4π,再乘以8π,则圆环体的表面积就等于32π²。顺便说一下,这里的表面积和体积相等(都是32π²),只是一个偶然。

另外,使用将圆环体变形为圆柱的方法,也能轻松推导出圆环体的体积和表面积的公式。

如图56所示,取r和R(R>r)使之围绕轴旋转形成圆环体。将半径为r的灰色圆板称为小圆,则圆环体的体积和表面积的公式如下:

体积=小圆的面积(πr²) × 小圆圆心经过的距离(2πR) =2π²r²R

表面积=小圆的周长(2πr)×小圆圆心经过的距离(2πR)=4π²rR

表面积的这种计算方法只要理解了就会觉得非常简单,但若使用其他计算方法就会比较麻烦,需要用到多重积分这种大学水平的积分知识。分割方法,让积分可易可难。

反过来说,那些看起来复杂困难的问题,仅仅通过分割的方法,就能转化为小学生也可以解开的问题了。

积分在应用时,数值计算多会使用计算机来处理。实际上,把具体的积分式子写出来并计算的情况少之又少。计算机计算积分问题,除了技术上的运行处理外,剩下其实都是在“求取所有分割面积(或者长度、体积)的总和”。

说到底,积分可以说就是求取“分割部分之和”,并无其他特别内容。一旦可以写出积分的式子,那么数值计算就很简单了。

将各种各样的量用积分的式子表达出来,这才是我们需要掌握的必要能力。

——本文选自《简单微积分:学校未教过的超简易入门技巧》