微分几何学习笔记 (2)- 微分流形(Manifold)

复合映射

对于X,Y和Z三个集合,存在映射fgh

其中h可以表示为先fg的复合映射,所以复合映射h可以表示为下面的形式,注意书写的顺序和映射复合的顺序相反。

流形(Manifold)

粗略的说,一个拓扑空间(Topological Space)再加上一个微分结构(Differentiable structure),称为流形(Manifold)

开覆盖(Open Cover)
假定有一个拓扑空间M,存在一个由M上的若干开集(Open Set)组成的集合


如果下式成立,则说上面这个是M的一个开覆盖(Open Cover)

如果M上存在一个开覆盖,并且满足下面两个条件,则称M为一个n维流形(Manifold)

  • 对于这个开覆盖中的任意一个开集Oα,存在一个从Oα到拓扑空间Rn上的某个开子集的同胚映射。(注意:Rn的拓扑结构在没有特殊声明的时候取通常拓扑(Usual topology),即可表示为开球之并的子集的集合)

  • 对于开集Oα和开集Oβ,如果它们的交集不为空,则从Vα到Vβ上的复合映射的无限阶连续(任意阶导函数存在且连续)。


流形(Manifold)的维数是由映射ψ决定的,ψ将一个开集映射到一个几维的空间上,流形的维数就是几。

对于条件二,需要特别注意这个条件中映射的原像和像的范围。


第一个条件使得一个n维的流形(Manifold)的局部上看起来像一个Rn。

第二个条件保证了不同的开集之间的相容性,又叫做相容性条件(Compatibility condition)

图/坐标系&图册(Chart/Coordinate System& Atlas)

对于M上的某个点,通过ψ映射得到了Rn上的一组数(x1,...,xn),这一组数称作这个点在ψ映射下对应的自然坐标。

对于M中红色区域中的点,在ψα和ψβ的映射下得到了(x1,...,xn),(x1',...,xn')两个不同的自然坐标,而这两个不同的自然坐标可以通过之前提到的复合映射进行变换,这就是所谓的坐标变换(Coordinate transformation)

一般将流型上的某个开集O和其对应的映射ψ称作一个坐标系(Coordinate system),或者图(Chart),记作(O, ψ)。

若干图(Chart)的集合称做图册(Atlas),记作{ (O1, ψ1), ..., (On, ψn) }。

例子

给定R2上的一个拓扑空间 M = R2

  1. 寻找一个最简单的开覆盖:O1 = R2。
  2. 寻找一个最简单的同胚映射:ψ1 : R2 -> R2(恒等映射)

则M是一个2维流形,其图册为{ (O1, ψ1) }。

可以发现在上面的例子中,O1在映射ψ1下的坐标就是普通的直角坐标。

通过在开覆盖中给定其它满足条件的同胚映射,可以得到不同的坐标系(Coordinate system)或者图(Chart)。如果要使用极坐标来表示2维流型上的某个点,只需要按照上面说的找到其相应的映射即可。

给定R2上的一个拓扑空间S


可以按照下面的方式划分不同的坐标系(Coordinate system)图(Chart)

由于图中四个相交的部分都等效,可以取其中一个加以证明,如黄色和绿色相交的地方。

黄色区域的点在该坐标系下的坐标的值为该点在R2下自然坐标的横坐标,即x,同理绿色区域的点在其坐标系下的坐标为y。

对于一个从黄色区域对应的坐标系到绿色区域的坐标变换,其表达式为

显然上式无限阶连续(任意阶导函数存在且连续)

则M是一个1维流形,其图册为{ (O1, ψ1), (O2, ψ2), (O3, ψ3), (O4, ψ4) }。

图册(Atlas)

对于一个拓扑空间M,定义了两个不同的图册{ (O1, ψ1) }和{ (O2, ψ2) }。

当这两个图册不相容(O1和O2的交集不为空,并且从O1到O2的复合映射不是无限阶连续),这个时候就在同一个拓扑空间上定义了两个不同流形。

一开始谈流形的时候说过:一个拓扑空间再加上一个微分结构,称为流形。那么对于这两个流形,它们的拓扑结构是相同,不同的是它们微分结构。

而当这两个图册相容的时候,可以把这两个图册合并为一个更大的图册{ (O1, ψ1), (O2, ψ2) },这样3个图册定义出来流形的是一样的。为了方便,一般定义一个流形都取最大的图册。

流形间映射

假定存在一个从流形M到流形M’上的映射f,根据流形的定义,分别选定它们开覆盖上的开集O和O',且它们分别存在从自身到对应维度的拓扑空间Rn和Rn'上的某个开子集的同胚映射,如下图所示

观察图中的映射关系,可以发现映射f是ψ、g和ψ'逆映射的复合,根据流形的定义可以知道ψ和ψ'为同胚映射,所以要看映射f的连续性,只需要看映射g的连续性,如果g是无限阶连续的,则f也是无限阶连续的。

之前提到,两个拓扑空间的映射如果是One to one和onto,并且正反映射都是C0连续的,则称它们是同胚的。

同样地,两个流形之间的映射如果是One to one和onto,并且正反映射都是无限阶连续的,则称它们是微分同胚(Diffeomorphism)的。

标量场 & 函数(Scaler Field & Function)

假定存在一个从流形M到实数域R上的映射f,则称映射f为一个函数(Function)或者标量场(Scaler field)

需要特别注意,这里的函数和我们之前学的函数是不一样的。

以前我们考虑一个n元函数需要给定一个n元的自变量,换句话说就是要给定一个坐标,而对于流形M上的同一个点,由于给定的坐标系不同,得到的坐标也不同。不同的坐标通过函数得到的函数值相同,所以这几个函数的函数关系也不同。

所以,对于之前理解的函数,他是依赖于坐标系,它是相对的。而这里的我们所提到的函数是不依赖于具体坐标系,它是绝对的

所以为了防止混淆,把这个从流形M到实数域R上的映射f称作标量场更加合适。

开子集&闭子集

如果一个子集是开子集(Open Subset),那么它的补集就是闭子集(Closed Subset)

一个集既可以是开的,也可以是闭的,还能是不开不闭和即开又闭的。

全集是开子集,全集的补集是空子集,所以空集是闭子集,而空集又是开子集,所以空集即开又闭,反之同理可以得到全集也是既开又闭的。

连通性(Connectivity)

如果一个拓扑空间的既开又闭的子集只有两个,则称它是连通的(Connected)

还有一个和上面连通性定义比较像的定义:对于一个拓扑空间内的任意两点,如果它们都能够被处于该拓扑空间内部的一条曲线连接,则称它是弧连通

这两个定义本身是有一定区别的,不过在研究流形的时候它们是没有区别的。

最后编辑于
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 151,688评论 1 330
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 64,559评论 1 273
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 101,749评论 0 226
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 42,581评论 0 191
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 50,741评论 3 271
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 39,684评论 1 192
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 31,122评论 2 292
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 29,847评论 0 182
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 33,441评论 0 228
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 29,939评论 2 232
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 31,333评论 1 242
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 27,783评论 2 236
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 32,275评论 3 220
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 25,830评论 0 8
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 26,444评论 0 180
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 34,553评论 2 249
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 34,618评论 2 249

推荐阅读更多精彩内容