【算法笔记】《labuladong 的算法小抄》第 1 章:核心套路篇之动态规划

写在本书之前

本书约定

  1. 一切以可读性为目标:Python、C++ 和 Java 混用
  2. 最小化语言特性,专注算法思维:使用内置数据结构


数据结构

LeetCode

  1. 二叉树节点 TreeNode
  2. 单链表节点 ListNode

C++

函数参数默认传值:& 引用容器

  1. 动态数组 vector :避免从其中间或头部增删元素的低效操作
  2. 字符串 string :直接用 if(s1 == s2) 判断相等
  3. 哈希表 unordered_map
    • 键一般为 intstring 类型
    • 方括号 [] 访问键时,若键不存在,则自动创建
  4. 哈希集合 unordered_set
  5. 队列 queue
  6. 堆栈 stack
    • pop 方法是 void 类型的,需要先存待删除元素

Java

  1. 数组 :非空检查
  2. 字符串 string
    • 不能直接修改,要用 toCharArray 转化成 char[] 类型数组再修改
    • + 拼接效率低,推荐使用 StringBuilderappend 方法
    • if(s1.equals(s2)) 判断相等
  3. 动态数组 ArrayList
  4. 双链表 LinkedList
  5. 哈希表 HashMap
  6. 哈希集合 HashSet
  7. 队列 queueQueue<String> q = new LinkedList<>()
  8. 堆栈 stack

Python 3

  1. 列表 list :数组、堆栈和队列
  2. 元组 tuple
  3. 字典 dict
    • 动态规划的备忘录memo = dict(), memo[(i, j)]


第 1 章 / 核心套路

  • 算法
    • 通过合适的工具数据结构
    • 解决特定问题的方法


1.1. 框架思维

  • 整体细节
  • 抽象具体


1.1.1. 数据结构的存储方式

  • 数组(顺序存储
    • 随机访问
    • 复制扩容
    • 移动插入删除
  • 链表(链式存储
    • 顺序访问
    • 插入扩容
    • 直接插入删除
数组 链表
队列/栈 需处理扩容和缩容 需存储节点指针
邻接矩阵 邻接表(稀疏矩阵)
哈希表(处理哈希冲突) 线性探查法 拉链法
堆(完全二叉树) 二叉搜索树、AVL 树、红黑树、区间树、B 树等


1.1.2. 数据结构的基本操作

数据结构的使命

  • 在不同的应用场景下尽可能 高效增、删、查、改

遍历 + 访问

  • 线性for/while 迭代

    • 数组迭代 遍历框架
    void traverse(int [] arr) {
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            // 迭代遍历 arr[i]
        }
    }
    
    • 链表迭代 遍历框架
    /* 单链表节点 */
    class ListNode {
      int val;
      ListNode next;
    }
    
    void traverse(ListNode head) {
      for (ListNode p = head; p != null; p = p.next) {
        // 迭代遍历 p.val
      }
    }
    
  • 非线性递归

    • 链表递归 遍历框架
    void traverse(ListNode head) {
      // 前序遍历 head.val
      traverse(head.next);
      // 后序遍历 head.val
    }
    
    • 二叉树递归 遍历框架
    /* 二叉树节点 */
    class TreeNode {
      int val;
      TreeNode left, right;
    }
    
    void traverse(TreeNode root) {
      // 前序遍历(根左右)
      traverse(root.left);
      // 中序遍历(左根右)
      traverse(root.right);
      // 后序遍历(左右根)
    }
    
    • N 叉树递归 遍历框架 → 的遍历(多个 N 叉树 + 布尔数组 visited
    /* N 叉树节点 */
    class TreeNode {
      int val;
      TreeNode[] children; 
    }
    
    void traverse(TreeNode root) {
      for (TreeNode child : root.children) {
        traverse(child);
      }
    }
    

算法刷题第一步:二叉树

  • 最容易培养框架思维
  • 大部分常考算法(回溯、动态规划、分治)本质上是树的遍历问题(递归


1.2. 动态规划解题套路框架

  • 一般形式:求最值(如 最长 递增子序列、最小 编辑距离)

  • 核心问题:穷举
  • 动态规划三要素
    • 存在“重叠子问题”:优化穷举效率(备忘录、DP table)
    • 具备“最优子结构”:子问题的最值 → 原问题的最值
    • 正确的“状态转移方程
      • 问题的 base case(最简单情况
      • 状态”空间
      • 选择”使“状态”改变
      • dp 数组表示“状态”和“选择”
# 初始化 base case
dp[0][0][...] = base case
# 进行状态转移
for 状态 1 in 状态 1 的所有取值:
    for 状态 2 in 状态 2 的所有取值:
        for ...
            dp[状态 1][状态 2][...] = 求最值 (选择 1, 选择 2, ...)


1.2.1. 斐波那契数列:重叠子问题

斐波那契数列:1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

int fib(int N) {
  if (N == 0) return 0;
  if (N == 1 || N == 2) return 1;
  return fib(N - 1) + fib(N - 2);
}
  1. 递归算法递归树:时间复杂度 O(2N),空间复杂度 O(1)
递归算法的递归树

↓“剪枝”

  1. 带“备忘录”的递归算法(自顶向下)递归图:时间复杂度 O(N),空间复杂度 O(N)
带“备忘录”的递归算法的递归图

  1. dp 数组的迭代算法(自底向上)DP table 图:时间复杂度 O(N),空间复杂度 O(N)
DP table
int fib(iny N) {
  if (N == 0) return 0;
  if (N == 1 || N == 2) return 1;
  vector<int> dp(N + 1, 0);
  // base case
  dp[1] = dp[2] = 1;
  for (int i = 3; i <= N; i++) {
    dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
  }
  return dp[N];
}

状态转移方程

状态转移方程

状态压缩dp 数组的迭代算法:时间复杂度 O(N),空间复杂度 O(1)

int fib(int N) {
  if (N == 0) return 0;
  if (N == 1 || N == 2) return 1;
  int pre2 = 1, pre1 = 1;
  for (int i = 3; i <= N; i++) {
    int cur = pre2 + pre1;
    pre2 = pre1;
    pre1 = cur;
  }
  return pre1;
}


1.2.2. 凑零钱问题:状态转移方程

k 种面值的硬币:c1, c2, ..., ck,以最少的硬币数凑出总金额 amount

算法的函数签名

// coins 可选硬币面值,amount 目标金额
int coinChange(int[] coins, int amount);
  1. 暴力递归:确定状态转移方程
    • 时间复杂度 O(knk),空间复杂度 O(1)
    1. 确定 base case:amount 为 0 时,算法返回 0
    2. 确定“状态”:amount
    3. 确定“选择”:coins
    4. 确定 dp 函数/数组的定义:输入 amount,输出凑出 amount 的最少硬币数量
int coinChange(int[] coins, int amount) {
  return dp(amount, coins);
}

int dp(int n, int[] coins) {
  // base case
  if (n == 0) return 0;
  if (n < 0) return -1;

  int res = Integer.MAX_VALUE;
  for (int coin : coins) {
    int subproblem = dp(n - coin, coins);
    // 子问题不能凑出,跳过这一面值
    if (subproblem == -1) continue;
    // 取子问题中各面值的最少硬币数
    res = Math.min(res, 1 + subproblem);
  }
  // 原问题不能凑出,则返回 -1
  return (res != Integer.MAX_VALUE) ? res : -1;
}

结果:递归超时

  1. 带“备忘录”的递归:自顶向下,消除重叠子问题
    • 时间复杂度 O(kn),空间复杂度 O(n)
int coinChange(int[] coins, int amount) {
  int[] memo = new int[amount + 1];
  Arrays.fill(memo, 0);
  return helper(memo, amount, coins);
}

int helper(int[] memo, int n, int[] coins) {
  // base case
  if (n == 0) return 0;
  if (n < 0) return -1;

  if (memo[n] != 0) return memo[n];

  int res = Integer.MAX_VALUE;
  for (int coin : coins) {
    int subproblem = helper(memo, n - coin, coins);
    // 子问题不能凑出,则跳过这一面值
    if (subproblem == -1) continue;
    // 取子问题中各面值的最少硬币数
    res = Math.min(res, 1 + subproblem);
  }
  // 原问题不能凑出,则设置备忘录值为 -1
  memo[n] = (res != Integer.MAX_VALUE) ? res : -1;
  return memo[n];
}
  1. dp 数组的迭代:自底向上
    • 时间复杂度 O(kn),空间复杂度 O(n)
int coinChange(int[] coins, int amount) {
  if (amount == 0) return 0;
  if (amount < 0) return -1;
  
  int[] dp = new int[amount + 1];
  // 初始化为 amount + 1,最多用 amount + 1 枚硬币凑出
  Arrays.fill(dp, amount + 1);

  // base case
  dp[0] = 0;
  for (int i = 1; i <= amount; i++) {
    for (int coin : coins) {
      // 子问题超出范围,跳过
      if (i - coin < 0) continue;
      dp[i] = Math.min(dp[i], 1 + dp[i - coin]);
    }
  }
  return (dp[amount] != amount + 1) ? dp[amount] : -1;
}
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