数据结构与算法——二叉树基础

在介绍二叉树之前,我们需要先明白什么是树,因为二叉树是树的其中一种,因为我们用的最多,所以我们大多都在学习和了解二叉树。

是一种抽象数据类型或是实现这种抽象数据类型的数据结构,用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n(n>0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。

树具有以下特点:

  • 每个节点都只有有限个子节点或无子节点
  • 没有父节点的节点称为根节点
  • 每一个非根节点有且只有一个父节点
  • 除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树
  • 树里面没有环路(cycle)

树还有一些专用的术语和概念,我们通过下边这个图为例来说明。

  • 节点的度: 一个节点含有的子树的个数为该节点的度(如下图中 A 节点的度为 2)
  • 树的度:一棵树中,度最大的那个节点度即为树的度(下图中度最大的节点为 B,其度为 3,所以树的度为 3)
  • 根节点:没有父节点的节点称为根节点(如图中的 A 节点)
  • 叶节点:度为零的节点(如图中的 K,J,F,L,O,P 节点)
  • 分支节点:度不为零的节点
  • 子节点:一个节点含有的子树的跟节点称为该节点的子节点(如图中,B 和 C 为 A 的子节点)
  • 父节点:如果一个节点含有子节点,那么这个节点称为其子节点的父节点(如图中,A 为 B 和 C 的父节点)
  • 兄弟节点:具有相同父节点的节点互为兄弟节点(如图中,B 和 C 互为兄弟节点)
  • :根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推
  • 深度:对于任意节点 n ,n 的深度为从根到 n 的唯一路径长,根的深度为0
  • 高度:对于任意节点 n ,n 的高度为从 n 到叶节点的最长路径长,所有叶节点的高度为0
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二叉树

树的种类有很多,不过最常用的还是二叉树

二叉树,顾名思义,我们就能知道每个节点最多有两个子节点,分别称为左子节点和右子节点。当然,并不是每个节点都有两个节点,也可能有的只有左子节点,有的只有右子节点。

二叉树中有两种特殊的类型,满二叉树完全二叉树

叶子节点全部都在最底层,除叶子节点外,每个节点都有两个子节点,这种二叉树称作满二叉树(如下图)。

在一颗二叉树中,若除最后一层外的其余层都是满的,并且最后一层要么是满的,要么在右边缺少连续若干节点,则此二叉树为完全二叉树(如下图)。

dzWbND.png

二叉树的存储

我们上面已经基本了解了什么是二叉树,那么我们在使用的时候是怎么来存储的呢?

我们首先来看顺序存储法。我们把根节点放在索引为 i 的位置(假设根节点的索引为0),那么他的左子节点的索引会是 2i+1,右子节点的索引会是 2i+2,而他的父节点(如果有)索引则为 \frac{i-1}{2}。这种存储方法更有利于紧凑存储和单个节点的访问,例如上边提到的满二叉树和完全二叉树就非常适合用这种方法存储,紧凑排列而不浪费空间。因为这种方法需要连续的存储空间,所以如果不是完全二叉树的话就会浪费不少的存储空间,这也是这种存储方法的一个缺点。

我们再来看一下链式存储法。链式存储法比较简单直观。每个节点存储三个字段,其中一个是该节点的数据,另外两个是指向左右子节点的指针。我们只要通过根节点,就可以通过左右子节点的指针,把整棵树都串起来。这也是我们比较常用的存储方式。大部分的二叉树也都是通过这种结构实现的。

二叉树的遍历

前边说了定义和存储方法,现在我们来看一下二叉树的遍历(面试常问)。

怎样把二叉树的所有节点都输出出来呢,有三种常用的方法,前序遍历、中序遍历和后序遍历。他们的不同在于输出节点和它左右子节点的先后顺序。

前序遍历

前序遍历是指,对于二叉树的任意节点,我们首先输出该节点,然后输出它的左子树,最后输出它的右子树。

我们来看一下具体的代码实现:

//节点结构类
class TreeNode
{
    int value;
    TreeNode left;
    TreeNode right;
    
    TreeNode(int value)
    {
        this.value = value;
    }
}

//前序遍历,递归实现
public void preOrderRe(TreeNode node)
{
    System.out.println(node.value);
    TreeNode leftNode = node.left;
    if(leftNode != null)
    {
        preOrderRe(leftNode);
    }
    
    TreeNode rightNode = node.right;
    if(rightNode != null)
    {
        preOrderRe(rightNode);
    }
}

//前序遍历,借用栈实现
public void preOrder(TreeNode node)
{
    Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>();
    TreeNode nd = node;
    while(nd != null || stack.size() > 0)
    {
        if(nd != null)
        {
            System.out.println(nd.value);
            stack.push(nd);
            nd = nd.left;
        }
        else
        {
            nd = stack.pop();
            nd = nd.right;
        }
    }
}

中序遍历

中序遍历是指,对于树中的任意节点,我们首先输出它的左子树,然后再输出它本身,最后输出它的右子树。

我们来看一下具体的代码实现:

//中序遍历,递归实现
public void midOrderRe(TreeNode node)
{
    TreeNode leftNode = node.left;
    if(leftNode != null)
    {
        preOrderRe(leftNode);
    }
    
    System.out.println(node.value);

    TreeNode rightNode = node.right;
    if(rightNode != null)
    {
        preOrderRe(rightNode);
    }
}

//中序遍历,借用栈实现
public void midOrder(TreeNode node)
{
    Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>();
    TreeNode nd = node;
    while(nd != null || stack.size() > 0)
    {
        if(nd != null)
        {
            stack.push(nd);
            nd = nd.left;
        }
        else
        {
            nd = stack.pop();
            System.out.println(nd.value);
            nd = nd.right;
        }
    }
}

后序遍历

后序遍历是指,对于树中的任意节点来说,我们首先输出它的左子树,然后再输出它的右子树,最后输出这个节点本身。

我们来看一下具体的代码实现:

//后序遍历,递归实现
public void postOrderRe(TreeNode node)
{
    TreeNode leftNode = node.left;
    if(leftNode != null)
    {
        preOrderRe(leftNode);
    }

    TreeNode rightNode = node.right;
    if(rightNode != null)
    {
        preOrderRe(rightNode);
    }
    
    System.out.println(node.value);
}

//后序遍历,借用栈实现
public void postOrder(TreeNode node)
{
    Stack<TreeNode> stack = new Stack<TreeNode>();
    //构造一个中间栈来存储逆后序遍历的结果
    Stack<TreeNode> output = new Stack<TreeNode>();
    TreeNode nd = node;
    while(nd != null || stack.size() > 0)
    {
        if(nd != null)
        {
            output.push(nd);
            stack.push(nd);
            nd = nd.right;
        }
        else
        {
            nd = stack.pop();
            nd = nd.left;
        }
    }
    
    while(output.size() > 0)
    {
        System.out.println(output.pop());
    }
}

内容小结

以上就是树和二叉树一些基础的知识,我们来总结回顾一下。我们讲了一种非线性数据结构,树有几个比较常用的概念我们需要了解和掌握:根节点、叶子节点、父节点、子节点、兄弟节点,还有节点的高度、深度、层数,以及树的高度

我们最常用的树就是二叉树。二叉树每个节点最多有两个子节点,左子节点右子节点。我们又介绍了两种比较特殊的树,满二叉树完全二叉树,满二叉树其实也属于完全二叉树。

二叉树的存储方式有顺序存储链式存储。顺序存储比较适合完全二叉树,会更充分利用内存空间而不会造成浪费。链式存储是比较简单直观,也是比较常用的存储方法。还有非常重要的二叉树前、中、后序遍历,是我们必须要掌握的。