2017.07.15【NOIP提高组】模拟赛B组 不等式(solve) 题解

原题:

http://172.16.0.132/senior/#contest/show/2061/2

题目描述:

小z热衷于数学。
今天数学课的内容是解不等式:L<=Sx<=R。小z心想这也太简单了,不禁陷入了深深的思考:假如已知L、R、S、M,满足L<=(Sx)mod M<=R的最小正整数x该怎么求呢?

输入:

第一行包含一个整数T,表示数据组数,接下来是T行,每行为四个正整数M、S、L、R。

输出:

对于每组数据,输出满足要求的x值,若不存在,输出-1。

样例输入:

1
5 4 2 3

样例输出:

2

数据范围限制:

30%的数据中保证有解并且答案小于等于10^6;
另外20%的数据中保证L=R;
100%的数据中T<=100,M、S、L、R<=10^9。

分析:

对于的做法,首先我们排除特殊情况,不妨设,0<=l<=r,0<=s<=m。
显然若存在一个的倍数满足l<=sx<=r,那么此时的答案就是x。
若不存在,我们不妨将约束式改写成代数式l<=s
x-my<=r。进一步改写成以为y主元,即-r<=my-sx<=-l,再把它还原为取模的形式:(-r mod s)<=my mod s<=(-l mod s)。若能求出最小的满足上式的y值,则可以求出唯一满足上式的x值(因为区间中没有s的倍数)。
所以我们只需要将读入的四个数标准化,判断是否存在简单解以及判断无解,假如需要的话递归调用函数,直至问题解决。

实现:

#include<cstdio>

long long t,m,s,l,r;
long long dg(long long m,long long s,long long l,long long r)
{
    if(l==0) return 0;
    if(l>=m || l>r || s%m==0) return -1;
    s%=m;
    long long x=(l-1)/s+1;
    if(x*s<=r) return x;
    long long y=dg(s,m,(-r%s+s)%s,(-l%s+s)%s);
    if(y==-1) return y;
    x=(r+m*y)/s;
    if(s*x-m*y>=l) return (x%m+m)%m;
    return -1;
}
int main()
{
    freopen("solve.in","r",stdin);freopen("solve.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%lld%lld%lld%lld",&m,&s,&l,&r);
        if(r>=m) r=m-1;
        printf("%lld\n",dg(m,s,l,r));
    }
}

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